Le présent livre a pour objet une étrange idée, et l'étrange littérature qui entreprit de l'étudier dans les dernières décennies – à savoir, la possibilité d'achever l'infini. La possibilité, autrement dit, qu'un exploit réclamant une infinité d'étapes successives puisse être entièrement accompli, laissé derrière soi ; que l'on en ait entièrement fini avec lui en un moment du temps.
Quant à nous, nous ne croyons pas en une telle possibilité. Nous maintenons la thèse commune et traditionnelle, qu'il est impossible d'achever l'infini ; que le sens même de l'infini consiste en son inachevabilité. Mais cette thèse ne fait pas, ne fait plus, l'unanimité. Sur le terrain de la philosophie dite « analytique » il semble même que son contraire fasse, ou ait fait, quasiment consensus parmi celles et ceux qui se sont prononcés sur la question. Nous voulons revenir ici sur le débat où ce nouveau consensus s'est le plus directement manifesté. C'est un débat commencé dans les années 1950, et pas tout à fait fini, qui a occupé les pages de plusieurs revues, et de quelques livres : la querelle dite des « supertâches ».
Mais ce débat, telle sera notre thèse, a presque toujours manqué son objet. Si jamais l'impossibilité de l'infini n'a pu y être correctement défendue, c'est qu'on n'y jouait jamais sur le bon terrain. Nous voudrions, ici, la remettre sur son terrain, et explorer à la fois l'histoire de la querelle, et ce que nous diagnostiquons comme son échec.
Au cours du XXe siècle, le territoire philosophique où la question de l'achevabilité d'une tâche indéfinie a été le plus directement abordée est sans doute, au sein du domaine de la philosophie de tradition analytique, le problème dit des « supertasks » – ou « supertâches ».
Les supertâches sont définies en première approche comme des tâches – des choses censées pouvoir s'accomplir ou être accomplies – qui ont la particularité de comprendre – au moins – une infinité successive d'étapes devant advenir une après l'autre. Dans le vocabulaire mathématique contemporain, on dira que ce sont des tâches dont l'ordre des étapes est au moins égal à l'ordinal ω. Mais ces étranges objets ne remontent pas seulement aux années 1950. Pour en repérer l'origine, il nous faut remonter jusqu'au cinquième siècle avant notre ère1.
Dans la tradition philosophique qui est la nôtre, la répétition infinie fait son entrée dans les écrits ingénieux d'un penseur présocratique de l'Italie de langue grecque, le fameux Zénon d'Élée.
La question plus particulière de l'achèvement d'une telle répétition infinie (ou plutôt de l'impossibilité de cet achèvement) apparaît dans deux de ses plus célèbres arguments, connus sous les noms de « l'Achille » et, surtout, de la « Dichotomie ».
En effet, nous rapporte Aristote2,
Il existe quatre arguments de Zénon sur le mouvement qui présentent des difficultés pour ceux qui cherchent à les résoudre. Le premier [= la Dichotomie] est qu'il n'y a pas de mouvement parce que ce qui se déplace doit atteindre la moitié avant de parvenir au terme. (…)
Le second est celui qu'on appelle l'Achille. Il consiste à dire que le plus lent ne sera jamais rattrapé dans sa course par le plus rapide. Il est en effet auparavant nécessaire que le poursuivant arrive à l'endroit d'où le fuyard s'est élancé, de sorte qu'il est nécessaire que le plus lent ait toujours quelque avance.
Aristote, Physique, VI, 239b10-18
De quoi s'agit-il ? Rappelons-le ici. Dans chacun de ces arguments, une prémisse unique est posée, qui revient à dire ceci : que la visée du terme, par elle-même, implique l'existence d'une étape intermédiaire. Zénon nous dit : « avant que le poursuivant ne rattrape le fuyard, il est nécessaire qu'il parvienne à l'endroit d'où le fuyard s'est élancé ». Cette prémisse établit l'existence d'une étape intermédiaire dans la poursuite, qui par construction (parce qu'elle est « avant » la fin et parce que le fuyard s'en est déjà « élancé ») ne constitue pas la fin de la course. Mais à l'issue de cette étape, la situation demeure celle d'un poursuivant et d'un fuyard ayant quelque avance, en sorte que l'opération intermédiaire peut et doit être effectuée à nouveau. D'où une situation circulaire, infinie, inextricable :
En effet, je sais d'avance que chaque itération de (α) me mènera à une situation (β), d'où (α) peut être réitérée. Je sais à priori que chaque itération donne lieu à réitération, et je peux conclure que la succession des étapes (α) est une itération indéfinie, qu'elle est inachevable. Nous appellerons en général « raisonnement par itération indéfinie » les raisonnements fondés sur une conclusion de ce type.
Zénon en conclut qu'« il est nécessaire que le plus lent ait toujours quelque avance ».
Ce raisonnement marche, en principe, car il en va identiquement pour la série des étapes du raisonnement et pour celle des étapes de la poursuite elle-même : car le premier suit la seconde pas à pas, étape par étape. Si le raisonnement est inachevable, c'est que la course l'est aussi. C'est cela qu'énonce la conclusion selon laquelle le plus lent a « toujours » quelque avance. Ce toujours indique à la fois la permanence et la réitération, et il a pour corrélat un « jamais » : si le fuyard a toujours quelque avance, il ne sera jamais rattrapé.
Dans la Dichotomie, l'unique prémisse, parallèle à celle de l'Achille, est que « ce qui se déplace doit atteindre la moitié avant de parvenir au terme ». Mais une fois parvenu à la moitié, il me reste par définition à parcourir la moitié restante, autrement dit je ne suis toujours pas au terme.
Chaque itération de l'opération de parcours de la moitié donne lieu à sa réitération, en sorte que le processus, aussi bien que le raisonnement, est inachevable. On en conclut parallèlement, comme le dit ailleurs Aristote, qu'« il faut toujours traverser la moitié3 », en sorte que, corrélativement, on ne peut jamais parvenir au terme. Comme cela est vrai de tout terme et de tout parcours, le mouvement est impossible, ainsi que l'énonce Zénon.
On peut obtenir une variante de ce second argument, particulièrement frappante, en renversant l'ordre du découpage. Car en énonçant qu'avant de parvenir au terme, il faut parvenir à son milieu, on transforme ce milieu lui-même non seulement en un nouveau point de départ, comme dans la version classique, mais aussi en un nouveau point d'arrivée. Or avant d'y arriver, il faut également être parvenu à la moitié de la première moitié, et ainsi de suite, entraînant une régression indéfinie.
Il faut, pour ainsi dire « toujours-déjà » avoir parcouru la moitié, en sorte que cette fois le trajet ne peut jamais commencer, ou ne peut jamais avoir commencé. L'ordre du processus-objet est cette fois inverse de l'ordre du processus-langage inachevable, c'est-à-dire qu'il est inentamable.
Le défi opposé par Zénon au mouvement, est bien celui-ci : comprendre comment achever une tâche infinie ; la course de l'Achille, ou le parcours générique appréhendé selon la Dichotomie, apparaissent immédiatement comme les supertâches originelles.
Il n'est pas besoin d'expliquer, cependant, que les courses réelles se manifestent d'abord à nous comme des processus continus, et non comme des processus discrets infinis. Achille, à première vue, va simplement (« d'une traite ») de A à B, il n'enchaîne pas une infinité d'étapes discrètes. C'est le dispositif de Zénon qui révèle une infinité d'étapes, c'est lui qui fait le découpage, et il a précisément pour but de nous faire appréhender le continu sur le mode du discret. Cela est accompli par la mise en parallèle des étapes de la course avec les étapes du dispositif logique qui la décrit. La succession logique, considérée comme tâche, comprend bien une infinité successive d'étapes, et l'impossibilité du mouvement est obtenue avec l'équivalence entre l'infinité logique et l'infinité des parties parcourues.
Cette logique de comparaison, variation et mise en parallèle, qui aura une postérité si grande dans notre culture philosophico-mathématique, est aussi ce qui constitue le problème moderne des supertâches.
En effet Max Black, l'initiateur de la discussion moderne sur les supertâches, imagine dans son article inaugural de 19514 une série de « machines infinitaires », transférant à l'infini des balles d'un réservoir à un autre, qui sont autant d'expériences de pensée dont le but explicite est de manifester l'absurdité intrinsèque de toute supertâche. En mettant en équivalence plusieurs processus infinis variés, Black espère que l'impossibilité apparente de l'un d'entre eux exhibe l'impossibilité de tous les autres. Par la suite, les auteurs du domaine vont faire preuve d'une abondance d'imagination et d'esprit analytique, en concevant une multitude de machines, lampes qui s'allument et s'éteignent à rythme zénonien, distributeurs frénétiques de billets ou découpeurs infinis de fromage, en mesure d'illustrer autant de possibles problèmes théoriques posés par l'infini.
En un sens, le procédé est ancien. Nous trouvons en effet déjà chez Aristote, dans son examen du problème de Zénon, une comparaison de l'achèvement de la course zénonienne avec le fait « d'avoir compté un nombre infini5 » : comme les étapes de la course se poursuivent à l'infini, le parcours des étapes successives devient analogue à leur compte, au fait de les compter une par une et, impossiblement, d'arriver « au bout » de ce compte infini. La stratégie de mise en parallèle est censée manifester l'impossibilité de la course elle-même. Aristote rend clair que l'impossibilité « d'avoir compté un nombre infini » est admise par tout le monde, et le contexte suggère que lui-même hérite de cette analogie, qu'il ne l'a pas inventée. Ce thème de mise en rapport de Zénon avec d'autres processus de répétition indéfinie, y compris la procédure paradigmatique du compte, apparaît par la suite à plusieurs reprises dans l'histoire de la philosophie, sous des formes diverses, de Jean Buridan à Hermann Weyl6.
Pourtant, quelque chose distingue nettement d'une part cette longue histoire d'expériences de pensée infinitaire et d'autre part les échanges se déroulant à partir de 1951 dans la revue Analysis puis dans plusieurs autres revues et ouvrages de tradition analytique. Car pour la première fois, semble-t-il, le fait qu'il est impossible d'achever une tâche impliquant une infinité d'étapes y est véritablement remis en question7.
Dans la littérature des « supertâches », l'impossibilité de l'infini achevé ne fait plus l'objet d'un consensus. Mettre en parallèle la course d'Achille avec une tâche infinie supposée impossible (comme compter jusqu'à l'infini, ou couper une infinité de bouts de fromage) n'est plus le lieu d'une présentation pédagogique ou rhétorique expliquant quel est le problème soulevé par Zénon. Cela devient un outil permettant de débattre véritablement de la question de savoir si on peut ou non achever un infini. Ce point n'est plus, comme du temps d'Aristote, un point d'accord commun – l'enjeu traditionnel ayant été de comprendre pourquoi, contrairement à ce que prétend Zénon, le mouvement est possible bien qu'on ne puisse pas achever un infini – mais un sujet de dispute, entièrement rejeté par des figures d'importance, au premier rang desquelles Bertrand Russell, le fondateur de la philosophie analytique lui-même. Russell soutient en effet sans ambiguïté que nous devons penser possible l'achèvement d'une tâche comprenant une infinité d'étapes successives. La nouvelle dispute donne dès lors lieu à un jeu de propositions et contre-propositions, analyses et réfutations, entre les tenants de la possibilité ou de l'impossibilité de l'achèvement de l'infini8.
Fixons d'emblée un peu de vocabulaire. Nous avons appelé, et appellerons de nouveau ici « possibiliste » la position nouvelle, représentée par Russell, selon laquelle un infini achevé est possible. Selon laquelle, donc, il est possible que se trouve achevée une tâche ou un processus comprenant une infinité d'étapes successives. Nous appellerons au contraire « impossibiliste » la position traditionnelle, soutenant que cela est absurde.
Si cette opposition est explicite et centrale dans le débat qui va nous occuper, il nous faut néanmoins remarquer d'emblée qu'une seconde opposition y prend place, de manière plus souterraine et rarement notée de façon explicite par les participants.
Puisqu'en effet le motif des supertâches est comparatiste, l'enjeu de la discussion ne porte pas seulement sur l'impossibilité ou la possibilité des supertâches, mais aussi plus classiquement sur la valeur de la comparaison dans laquelle elle s'insère. En d'autres termes : peut-on ou non conclure, de l'absurdité de telle ou telle machine infinitaire, à l'absurdité de dispositifs plus simples et, ultimement, à l'impossibilité du mouvement lui-même d'après la description de Zénon.
La question sous-jacente est celle-ci : est-ce qu'en admettant qu'il est impossible d'achever une supertâche, nous sommes aussi contraints d'admettre l'impossibilité d'un processus continu ? Est-ce que, autrement dit, l'analyse que fait Zénon de la course d'Achille est correcte, est-ce que nous devons être d'accord avec lui sur le fait que le mouvement implique l'achèvement d'un infini ? Que si Achille peut aller jusqu'au bout de sa course, alors il peut avoir fini de parcourir successivement une infinité d'étapes ? Est-ce que le mouvement continu tombe ou demeure en même temps que l'infini achevé et partage son sort ?
Cette question, nous la nommons la question de la « compatibilité » entre l'impossibilité des supertâches et la possibilité du mouvement continu. Et nous appellerons « compatibiliste » celle ou celui qui soutient que l'absurdité de l'infini achevé est compatible avec la possibilité du mouvement continu9 (contre ce que cherche à nous faire admettre Zénon). À l'inverse, nous appellerons « incompatibiliste » celle ou celui qui soutient que l'absurdité de l'infini achevé est incompatible avec la possibilité du mouvement continu, que Zénon a raison de penser que les deux sont équivalents.
La littérature des supertâches étant ultimement occupée de la possibilité d'un processus continu, et tous ses participants souhaitant admettre la réalité du mouvement, on y voit s'opposer pour l'essentiel une tendance impossibiliste mais compatibiliste (comprenant notamment Black, Thomson et Chihara10), c'est-à-dire une tendance qui refuse l'infini achevé mais veut préserver le mouvement continu, et une tendance incompatibiliste mais possibiliste (comprenant par exemple Watling, Benacerraf et Earman11), qui ne voit pas ce qu'on peut objecter à l'analyse zénonienne selon laquelle le mouvement continu implique l'achèvement de l'infini, mais ne voit pas non plus le problème à achever l'inachevable. Zénon, quant à lui, présupposait l'impossibilisme, mais essayait d'établir en même temps l'incompatibilisme12.
Cette présentation symétrique risquerait pourtant de dissimuler la vérité. Car le fait est qu'au sein de la littérature, la très large majorité des participants – au point qu'on puisse en faire un consensus – se tient (curieusement) du côté de la possibilité de l'achèvement des tâches infinies. En vérité, l'essentiel de la production à partir des années 1990 va se consacrer à explorer les différentes conséquences, différemment paradoxales, de différents processus infinis supposés achevés, sous diverses hypothèses physiques, logiques ou mathématiques13. C'est-à-dire que tous, peu ou prou, vont supposer qu'il est en soi possible qu'un inachevable se trouve achevé, mais soit vont tenter de trouver la limite de cette possibilité, c'est-à-dire tenter d'élaborer la machine conceptuelle la plus extravagante ou capable d'exhiber la propriété la plus remarquable qui se trouve, ou non, pensable comme achevée ; soit vont chercher à tirer des conséquences de la possibilité de l'infini achevé dans divers domaines – notamment dans le domaine de la théorie de la démonstration et des fondements des mathématiques14. Il est aisé de voir que dans l'un et l'autre cas, un postulat « possibiliste » est d'avance admis, c'est-à-dire que la question qui nous occupe ici (« Peut-on achever un infini ? ») est considérée comme réglée, et qu'on admet que sa réponse est positive.
Au sein de la littérature portant sur les supertâches, ne nous intéresseront donc que les articles qui abordent au contraire directement le problème de l'achèvement d'une tâche infinie, et ne se contentent pas de présupposer tout simplement que cet achèvement doit être admis comme possible. Ce qui nous intéresse, c'est le débat originaire, et surtout les tentatives répétées de défendre la position traditionnelle, à savoir la position « impossibiliste », rejetée par la majorité.
Or, considérée de ce point de vue, il faut reconnaître que l'histoire de la recherche sur les supertâches est l'histoire d'un échec, échec qui se répète pour ainsi dire tragiquement d'une décennie sur l'autre. Car en soixante-dix ans de débat les impossibilistes n'ont jamais su convaincre personne.
L'échec est cependant plus profond encore : il n'est pas seulement l'échec des impossibilistes à convaincre leurs adversaires. Il est selon nous encore davantage l'échec des impossibilistes à demeurer fidèles, dans leurs arguments mêmes, à l'intuition fondamentale qui les motive. Il est l'échec du camp impossibiliste à savoir énoncer cela à quoi il tient, à comprendre exactement de quoi il est question.
Ce dont il est question, le fond du problème, ce à quoi tient l'impossibiliste et l'intuition fondamentale qui la motive, consiste selon nous dans ce que nous avons appelé ailleurs le « principe d'achevabilité »15. Ce principe est un énoncé portant sur la structure du temps et des processus qui y prennent place. Négativement formulé, il peut s'énoncer ici : « Il est impossible que se trouve avoir été achevé ce qui ne saurait s'achever (au présent) ». Positivement, et réciproquement, il dit que : « Pour qu'un processus puisse se trouver avoir été achevé, il faut qu'il puisse s'achever (au présent) dans le temps ». Ces énoncés ne sont pas de simples tautologies, mais disent quelque chose sur l'inscription des processus dans le temps. La description que donne Zénon de la course d'Achille est celle d'un processus intrinsèquement inachevable, qui n'a pas comme tel quelque chose comme une fin – un infini. De ce fait, il ne saurait non plus s'achever, à strictement parler, dans le temps – il ne peut pas prendre fin à un moment puisqu'il ne peut pas prendre fin du tout. Pourtant, si l'on suppose qu'Achille arrive au bout de sa course, on suppose que le processus zénonien s'est inscrit dans le temps et qu'il a pris fin, bien qu'il n'ait pu prendre fin. Supposer qu'il puisse y avoir un moment tel qu'un processus se trouve avoir été achevé sans que ce processus puisse trouver à proprement parler un achèvement, admettre l'être-fait de ce qui ne saurait se faire, c'est cela que signifie contrevenir au principe d'achevabilité.
Or, c'est bien cette question que la littérature des supertâches manque entièrement. Les arguments propres à la littérature des supertâches tendent en effet à examiner pro et contra l'impossibilité de l'être achevé de certains processus infinis ; c'est-à-dire qu'ils discutent du fait de savoir si une contradiction ou absurdité peut être dérivée de l'hypothèse de leur être achevé. Par exemple, on suppose qu'Achille a parcouru une infinité d'étapes, ou qu'une lampe a été allumé et éteinte une infinité de fois. Cela a la conséquence suivante : tout en étant le lieu de travail intellectuel le plus directement consacré au problème qui nous occupe, la littérature des supertâches apparaît en même temps comme le meilleur représentant d'un étrange phénomène : celui de la perte du problème de l'achevabilité, de la substitution, au problème de l'achevable posé originairement par Zénon, d'un pseudo-problème, celui de l'achevé.
Nous soutiendrons en effet ici, comme nous avons développé en détail ailleurs, que la conviction que l'infini ne saurait être achevé reposait sur la pensée du passage comme tel, du faire comme irréductible au fait. Car l'infini achevé, nous l'avons soutenu, est constitutivement un « fait », qui est impensable comme « faire », un résultat qui est impensable dans son processus effectif de réalisation, c'est-à-dire qu'il contredit le principe d'achevabilité. La littérature sur les supertâches, se donnant le fait et ignorant le problème de sa constitution, manque donc toujours la source de l'impossibilité qui est en question.
Ce double échec, cependant, n'empêche en rien l'impressionnante rigueur et ingéniosité des participants des deux bords. Ils ne manquent pas d'explorer de fascinants détails et de produire de magnifiques exposés touchant à l'essence de ce qui est en question. L'élaboration et la fine analyse de si nombreuses expériences de pensée a en effet pour résultat une série de différences et variations sur les multiples critères susceptibles d'être en jeu. C'est ce que nous examinerons ici, en nous efforçant de détacher la moelle d'un débat long et osseux.
Notre exposé ne saurait manquer d'être quelque peu circulaire. L'ordre chronologique de développement du débat demeure en effet pertinent, car il est après tout, dans ses grandes lignes, un ordre logique. Mais étant nous-mêmes à la fin de l'histoire, ce n'est que depuis les résultats de cette fin et d'un œil rétrospectif que nous pouvons en examiner le début.