La première partie de l'histoire proprement dite des supertâches prend presque entièrement place dans les volumes XI à XV de la revue Analysis, entre 1951 et 1954, à commencer par l'article de Max Black de 1951 qui, comme son nom l'indique, portait à l'origine directement sur l'aporie de Zénon1.
L'article de Max Black n'est pas seulement l'article inaugural de la longue tradition de recherche sur les supertâches, il est aussi peut-être l'exemple le plus manifeste d'une discussion qui touche de bout en bout le problème de l'inachevable, et qui, nous le pensons, est profondément animée par ce problème, mais qui échoue finalement à en rendre compte.
Le point de départ de la discussion est, comme il se doit, l'argument de l'Achille, que l'auteur présente en termes assez classiques : puisqu'Achille doit toujours de nouveau parvenir au point où la tortue s'est portée, il ne peut jamais la rattraper. Contre les réponses de type mathématique, qui insistent sur le fait que la somme infinie décrite par Zénon a un total fini, il remarque que le calcul du « total » d'une série n'est pas en réalité le calcul du résultat de la « somme » d'une infinité de termes. À la lettre, en effet, il est impossible de mener une pareille somme. Le total est au contraire obtenu par le calcul de la limite, c'est-à-dire de la valeur que la série approche infiniment. Du même coup, la réponse mathématique échoue à affronter la difficulté logique, qui est d'avoir à accomplir effectivement une série infinie d'actes – ce pour quoi, comme il vient de le rappeler, la « convergence » mathématique n'est d'aucune aide.
Mais l'adversaire véritable de Max Black n'est pas le professeur de physique qui enseigne la notion de série convergente à l'aide du paradoxe de l'Achille. Il est cette figure nouvelle du XXe siècle qui affirme explicitement la possibilité de l'infini achevé. Cet adversaire qui affirme, comme le faisaient Russell et les russelliens, que croire à l'impossibilité logique d'accomplir un tel exploit est le signe d'une défaillance de l'imagination. Qui défend que l'impossibilité d'énumérer une collection infinie n'est pas « une impossibilité intrinsèque et logique, [mais] pratique et matérielle[,] tout simplement une question de temps2 », qu'une temporalité elle-même zénonienne permet de surmonter (c'est-à-dire que si on va de plus en plus vite en accomplissant les étapes l'une après l'autre, on peut en achever une infinité en un temps fini).
Pourtant, bien sûr – comme Aristote le notait déjà – rendre le temps « zénonien » (remarquer qu'on peut le diviser un intervalle temporel en deux, puis sa seconde moitié en deux, et ainsi de suite) ne fait que déplacer le problème de l'acte au processus temporel : lui aussi se trouve révélé comme inachevable. Comment le temps pourrait-il passer, si son passage implique l'achèvement de l'infini ?
L'adversaire de Max Black refuse néanmoins d'admettre d'emblée la différence de nature entre une tâche quantitativement trop grande pour être réalisée et une tâche intrinsèquement inachevable. La différence, pour reprendre l'exemple de l'auteur, entre prescrire d'énumérer une collection infinie et prescrire de compter les brins d'herbe dans Hyde Park. Les deux sont impossibles, mais en ce qui concerne la seconde tâche, il s'agit bien d'un manque de moyen et de temps. En ce qui concerne la première, en revanche, il ne s'agit pas d'une difficulté excessive ou d'un manque d'imagination, car aucun temps et aucune aide ne me permettrait d'avoir effectivement accompli la tâche. Il y aurait une confusion conceptuelle à répondre à qui me prescrit la première tâche que « je n'en ai pas le temps » ou qu'elle est « trop difficile ». La seconde tâche est insurmontable, mais la première est absurde. C'est pour exhiber ce caractère absurde que Max Black élabore en pensée les premières des « machines infinies » qui caractérisent la littérature des supertâches.
La première machine, « Alpha », est censée déplacer successivement des billes, depuis un réservoir infini au départ entièrement plein à sa gauche, jusqu'à un réservoir infini au départ entièrement vide à sa droite. La machine a, naturellement, une « temporalité zénonienne », qui lui permet de finir – par hypothèse – de déplacer une infinité de ces billes en 4 minutes, le temps ne cessant de décroître entre deux déplacements, en sorte qu'après 4 minutes la machine est arrêtée et le réservoir de droite est à priori plein (la première bille est déplacée dans les deux premières minutes, la seconde dans la minute suivante, la troisième dans les 30 secondes suivantes, et ainsi de suite). Nous voyons que le dispositif illustre adéquatement un problème d'inachevabilité : la tâche de la machine n'a manifestement aucune fin intrinsèque, rien qu'elle puisse faire au présent qui compte comme un achèvement, et pourtant par construction elle est censée s'être accomplie entièrement.
Mais les choses ne s'arrêtent pas là. En effet, une seconde machine « Bêta » fait un pas supplémentaire pour manifester l'essence de l'inachevable. Comme la machine Alpha, la machine Bêta a pour instruction de vider les billes de son réservoir de gauche dans son réservoir de droite, avec la différence suivante : son réservoir de gauche contient cette fois une bille unique, et lui est adjoint un second mécanisme, fonctionnant lui aussi « à vitesse zénonienne », qui replace perpétuellement une bille dans le réservoir de gauche chaque fois que le mécanisme principal le vide. Black relève alors que la tâche que les deux machines, Alpha et Bêta, doivent accomplir, est conceptuellement la même : à savoir mener successivement des billes de gauche à droite, dans un contexte où il est garanti à priori que chaque étape du transfert replace la machine dans une situation où il y a de nouveau une bille à transférer.
La mise en équivalence de la machine Alpha avec la machine Bêta illustre parfaitement, par conséquent, le fait que dans le cas d'un processus, « l'infini » n'est pas d'abord une « grande quantité », mais le résultat d'une situation itérative indéfinie, où chaque opération reconduit par construction à devoir à nouveau l'accomplir, en sorte qu'intrinsèquement le processus ne puisse finir. Dire que la machine Alpha a une « infinité » de billes à transférer, du point de vue du processus de transfert – et non d'un calcul sur des nombres ou ordinaux infinis donnés – signifie d'abord que, quoiqu'elle fasse en termes de transfert effectif de billes, elle est garantie d'en avoir toujours d'autres à transférer.
Cette première équivalence entre machines Alpha et Bêta supposée admise, Max Black peut argumenter en faveur d'une seconde équivalence. Il affirme en effet qu'achever le processus, pour la machine Bêta, alors même qu'un mécanisme garantit que tout ce qu'elle accomplit est vain, reviendrait à tenter de remplir trois trous avec deux piquets, en alternant leurs positions de plus en plus vite. Le fait d'accélérer le processus, à rythme zénonien, ne nous aidera manifestement pas à le faire, car aucune étape ne nous rapproche du but, en sorte qu'à chaque fois il reste de nouveau un trou à remplir. C'est une opération, affirme l'auteur, logiquement impossible à achever, comme toute opération que nous nommons ici « intrinsèquement inachevable ».
Cela n'est d'ailleurs pas encore terminé, car notre auteur a une dernière corde à son arc : à ceux qui soutiendraient que la machine Bêta pourrait, on ne sait comment, accomplir la tâche impossible de vider le réservoir de gauche, il fait remarquer qu'une machine Bêta équivaut en substance au branchement l'une sur l'autre de deux machines Alpha symétriques opérant en alternance pour renvoyer une même unique bille de gauche à droite puis de droite à gauche – car le réservoir de droite de l'une est, par symétrie, le réservoir de gauche de l'autre. Or, si l'on affirme qu'à l'issue du temps imparti la machine Bêta doit avoir d'une manière ou d'une autre accompli son but, on dit que la première machine Alpha doit avoir réussi à renvoyer la bille à droite. Mais alors, symétriquement, la seconde machine Alpha doit aussi avoir accompli son but et la bille doit se trouver à la fois à gauche et à droite.
Malgré toute la sympathie que nous avons pour son entreprise, il est important de prendre la pleine mesure de l'échec de Max Black. Notre thèse est en effet la suivante : lorsqu'un auteur ou une autrice tente d'argumenter en faveur de l'impossibilité des tâches infinies achevées, son argument n'est jamais concluant s'il omet de poser en principe qu'une condition pour qu'une tâche – de type itératif – ait été entièrement accomplie est qu'elle ait pu s'accomplir effectivement – soit le principe d'achevabilité, reposant sur la primauté du faire sur le fait.
En effet, comme de nombreux commentateurs le soulèveront dès la publication de l'article de 1951, il est faux que les arguments à la manière de Black établissent en général qu'une « contradiction » suit l'achèvement d'une tâche infinie. Car il est également faux que toutes les machines décrites soient, du point de vue de l'être achevé, réellement équivalentes.
D'une manière générale, en effet, les diverses expériences de pensée entendant montrer l'impossibilité de l'achèvement d'une tâche infinie s'avèrent paradoxalement à la fois trop spécifiques pour concerner la question générale de l'achèvement, et à la fois trop peu déterminées dans la description de leur fonctionnement pour qu'on puisse légitimement conclure que leur résultat supposé est ou non contradictoire. En fait, l'analyse usuelle de l'échec de l'argument procède sous la forme d'un dilemme : ou bien la description de l'opération supposée reste relativement vague, mais alors il n'est pas vrai que le résultat en soit logiquement contradictoire, ou bien il est mieux déterminé, en sorte de produire en effet une contradiction, mais cette contradiction ne résulte pas de l'achèvement d'une tâche infinie comme tel, mais des caractéristiques impossibles de la machine qu'on a décrite.
Reprenons par exemple la machine Alpha. Nous pouvons l'analyser en termes du transfert d'une infinité de billes ordonnées, numérotées selon un « ordinal transfini », à partir de la première. À chaque étape n du processus zénonien, la machine transfère la bille numérotée n. Si l'on omet entièrement la question du principe d'achevabilité, que pouvons-nous dire de la question de Max Black : « peut-elle logiquement avoir achevé sa tâche infinie ? » ? La réponse doit-être : « cela dépend de quelle est sa tâche ! ». Car la question est ambigüe : s'agit-il de transférer une infinité de billes (c'est-à-dire des billes dont la quantité est un cardinal infini, une quantité « ℵ0 ») ? En ce cas, par hypothèse la tâche a été effectivement accomplie à l'instant postérieur à toutes les étapes zénoniennes. Devons-nous en conclure qu'il n'y a plus aucune bille dans le réservoir de gauche ? Cela dépend. Si l'on suppose que les billes à gauche sont indexées sur l'ordinal ω, l'hypothèse suggère que le réservoir est en effet vide. Mais cela n'est pas imposé logiquement par le dispositif. Il se peut qu'elles soient numérotées selon un ordinal supérieur à ω, auquel cas il peut en rester un nombre quelconque, fini (par exemple 5 si l'ordinal en question était ω + 5) ou infini (par exemple ω si l'ordinal de départ était ω + ω). Dans tous ces cas, la situation résultante ne semble pouvoir être qualifiée de logiquement contradictoire.
Considérons maintenant la machine Bêta. Peut-elle accomplir sa tâche ? De nouveau, cela dépend. Supposons que la machine vérifie, à intervalles prescrits, s'il y a ou non une bille à gauche, et, si oui, doit la transférer à droite. Et supposons que le mécanisme adjoint observe les deux réservoirs et transfère le cas échéant une bille de droite à gauche. Si maintenant la tâche de la machine Bêta est d'avoir effectué une infinité de transferts de gauche à droite, elle a, par hypothèse, accompli cette tâche au temps t, quel que soit le résultat en termes de billes à gauche. Et cette supposition vaut également pour le mécanisme adjoint. S'il s'agit en revanche d'en avoir fini avec la présence d'une bille à gauche, alors de deux choses l'une : ou bien il y a une bille à gauche à l'issue du processus, ou bien il n'y en a pas, et s'il n'y en a pas, par hypothèse le mécanisme adjoint ne va pas tarder à en remettre une. La tâche d'en avoir absolument fini avec les billes à gauche est alors dans ce cas en effet impossible à accomplir, mais pas du fait de l'impossibilité d'accomplir une tâche infinie ! Simplement du fait qu'on a prescrit en effet une tâche impossible – qui se trouve, aussi, être une tâche infinie – du type « remplir trois trous avec deux piquets » : « en finir avec les billes à gauche alors qu'un mécanisme en remet toujours une ».
On pourrait dire que la tâche impossible de remplir trois trous avec deux piquets est impossible parce qu'elle n'a pas d'achèvement extrinsèque : quel que ce soit le résultat, où que soient les deux piquets à la fin du temps zénonien, au moins un des trous demeure vide. Admettre l'inconsistance de l'achèvement d'une telle tâche n'implique pas d'admettre celle de l'achèvement d'une tâche ayant un achèvement extrinsèque, mais n'ayant pas ce que nous avons appelé un achèvement intrinsèque. Si les machines Bêta de Black ont pour tâche de faire passer une infinité de billes, alors elles s'arrêtent au bout des quatre minutes, cela que la bille soit alors à gauche, à droite, ou tout à fait anéantie. Si leur tâche est de se débarrasser de la bille, alors en effet elles ne peuvent cesser, mais il est manifeste que la contradiction (comprise comme contradiction post hoc, comme impossibilité d'un achèvement extrinsèque) ne repose pas dans l'infinité elle-même. Or, dans l'Achille, il ne saurait à l'évidence y avoir d'impossibilité d'un achèvement extrinsèque, nous savons au contraire parfaitement quel est cet achèvement : être arrivé au point final de la course.
Par où nous voyons aisément que la stratégie de Max Black était vouée à l'échec. Elle était en vérité incohérente. Car son objectif était de mettre en équivalence des séries infinies d'actes, de façon à conclure à leur impossibilité générale. Or à supposer qu'il ait pu exhiber une contradiction, celle-ci était produite par un dispositif spécifique et ne pouvait donc être généralisée aux séries infinies en général, et en particulier ne pouvait par principe s'étendre à ce qui était la série infinie visée à l'origine : à savoir la série zénonienne. L'auteur avait bien originellement à l'esprit le problème de l'inachevabilité, l'absurdité qu'il y a à supposer achevé ce qui est par construction inachevable. Mais croyant pouvoir exhiber une contradiction dans la supposition d'un être achevé de l'infini, il a mené sa réflexion sur un terrain où ultimement elle ne pouvait qu'échouer : car il conclut à la fausseté de l'hypothèse de Zénon selon laquelle le mobile achève une série infinie, du fait que selon lui les séries infinies achevées doivent manifester des propriétés impossibles, alors même que la série infinie décrite par Zénon ne manifeste pas ces propriétés impossibles !
En effet, par construction, le processus zénonien est un processus inachevable, infini, dont l'être achevé, si on le suppose possible, est bien déterminé, bien connu, non-contradictoire. Cet être achevé est simplement le fait d'être arrivé en un point depuis un autre point. Un tel résultat ne saurait jamais apparaître comme en lui-même impossible ou contradictoire. En sorte que, quelle que soit la contradiction produite par la supposition de l'être achevé d'un autre processus infini, on pouvait savoir à priori que cette contradiction résultait d'une propriété que ne partage pas le processus zénonien.
Mais du point de vue du problème de Zénon, tout cela manifeste bien un terrible malentendu. Car, qu'il y ait des situations parfaitement ordinaires et non-contradictoires en elles-mêmes, dont on peut montrer qu'elles sont l'être achevé d'un processus infini, c'est précisément ce que Zénon a cherché à prouver. Jamais donc la contradiction, si contradiction il y a, ne pourra se trouver dans l'hypothèse d'un état au-delà de la course inachevable. Zénon, au contraire, a cherché à exhiber la seule contradiction qu'il puisse y avoir, et qui est que tout mouvement présuppose l'être achevé de quelque chose qui est intrinsèquement inachevable. Autrement dit, nous savions dès le départ que la contradiction, si contradiction il y a, ne pouvait se trouver que dans le rapport entre la possibilité d'achever effectivement au présent un processus et le fait qu'il y ait un temps où ce processus se trouve entièrement achevé.
Dès Max Black, pourtant, se produit cette substitution du pseudo-problème de l'être achevé au problème de l'inachevable, la capture tragique de l'aporie zénonienne par la question des contradictions spécifiques exhibées par divers dispositifs plus ou moins sophistiqués. L'intention originelle de l'étude des supertâches concerne bien l'aporie de l'inachevable, telle qu'elle est manifestée par Zénon, mais le cadre d'étude établi par la littérature est condamné à perdre immédiatement de vue l'essence du problème en le ramenant à la question de la cohérence d'un certain état accompli. Les adversaires possibilistes ont dès lors beau jeu de répondre, et nous avons fait ici un usage ample de leurs analyses incisives3.