Après l'échec de Max Black, la seconde grande tentative impossibiliste est celle de J. F. Thomson, l'introducteur du vocable de « supertâche », dans son premier article de 19541.
Si nous la comprenons correctement, l'idée de Thomson est de proposer une nouvelle et plus fine interprétation de l'argument de Zénon, dont le caractère sophistique aurait échappé aussi bien aux possibilistes qu'aux impossibilistes – aussi bien à Max Black qu'à son réfutateur Watling, aussi bien aux finitistes qu'aux Russelliens. Selon l'analyse de Thomson, la situation est parfaitement classique : l'argument zénonien semble produire une conclusion inadmissible sur la base de deux prémisses vraisemblables, ce qui force les interlocuteurs à choisir celle des deux prémisses qu'ils désirent conserver, et à produire des arguments contre celle qu'ils sont prêts à abandonner afin de pouvoir conserver la première. Mais, avance-t-il, ces arguments sont inévitablement mauvais. En effet, une analyse correcte révèle que sous une certaine interprétation les deux prémisses sont vraies, et que c'est au moyen d'une équivocation que l'argument fait croire à leur contradiction.
L'argument zénonien considéré est le suivant :
Prémisse 1Pour achever un parcours quel qu'il soit, il est nécessaire d'avoir achevé un nombre infini de parcours.
Prémisse 2Mais il est logiquement absurde de supposer que quelqu'un a achevé un nombre infini de parcours.
ConclusionPar conséquent, il est absurde de supposer que qui que ce soit ait jamais achevé un parcours.
En substance, et sans rentrer dans le détail technique2, il nous semble que le fond du problème pour Thomson, en 1954, est qu'une supertâche – telle que celle de la « machine Bêta » de Black ou de la fameuse « lampe de Thomson » que nous allons décrire – est réellement impossible comme tâche parce qu'elle n'a aucun résultat déterminé, qu'il n'y a rien qui puisse compter comme un « résultat net » de cette tâche. Thomson comprend donc l'inachevabilité de la série zénonienne comme le fait que, par construction, elle n'ait aucun « résultat net » possible, rien qui compte comme son achèvement intrinsèque. Mais ce problème trouve pour lui une résolution immédiate dans la remarque selon laquelle la course zénonienne n'a pas besoin d'un tel résultat net et intrinsèque, car le processus zénonien n'est que prélevé au sein d'un ensemble continu aux deux bornes bien déterminées.
C'est sur ce point que jouerait le sophisme zénonien : il est, pour Thomson, vrai qu'on ne peut pas accomplir un inachevable, comme le suggère la prémisse 2, et il est aussi vrai que la série zénonienne est inclue dans la course ordinaire d'Achille, comme le suggère la prémisse 1. Mais, dit-il, Achille n'a pas pour autant à accomplir un inachevable, car il n'a pas à accomplir une tâche sans résultat net possible : ce qu'il accomplit en réalité est la tâche ordinaire d'aller du point A au point B, qui a bien un résultat net. Il ne pourrait pas accomplir une « tâche zénonienne », mais il n'a pas à le faire.
D'après Thomson, parmi les tâches infinies à la manière de Zénon ou de Black, il en est certaines qui ne font pas sens, parce qu'elles exigent que soit obtenue cette chose selon lui absurde qu'est le résultat (net) d'une supertâche, en sorte qu'elles présupposent effectivement une supertâche comme telle. Mais d'autres, en revanche, peuvent faire sens, parce qu'elles n'exigent pas cette chose absurde. La course d'Achille a beau sembler présupposer l'accomplissement d'une tâche infinie, elle ne prescrit pas qu'il y ait une chose telle que la réalisation exacte de la tâche infinie elle-même, sans plus, ayant un résultat supposé. En effet, toute partie de la course d'Achille conduit jusqu'à un certain point du parcours, et la course d'Achille entière conduit jusqu'à son point d'arrivée, mais ni dans la partie ni dans le tout n'est impliqué une chose telle que : « le résultat de tous les parcours zénoniens partiels et uniquement eux » (ce qui constituerait la réalisation d'une supertâche, impossible, en bonne et due forme, au sens de la prémisse 2).
On voit que le raisonnement de Thomson est mené simultanément sur les deux fronts que nous avons identifiés comme centraux dans le problème des supertâches : le front impossibiliste – en défendant la prémisse 2 au nom de l'absurdité d'une tâche sans résultat net – et le front compatibiliste – en défendant la prémisse 1 au nom de la différence entre la course d'Achille et un inachevable. Malheureusement, Thomson nous semble échouer sur ces deux fronts, que nous allons considérer successivement.
Pour convaincre de l'impossibilité de ce qu'il nomme les « supertâches », Thomson invente la « machine » la plus célèbre de cette littérature, connue dès alors sous le nom de « lampe de Thomson ». Il la décrit ainsi :
Certaines lampes de lecture sont munies d'un bouton sur leur base. Si la lampe est éteinte, et que l'on appuie sur le bouton, elle s'allume, et si elle est allumée et que l'on appuie sur le bouton, elle s'éteint. Si la lampe était initialement éteinte, et que l'on a appuyé sur le bouton un nombre impair de fois, la lampe est allumée, et si l'on a appuyé sur le bouton un nombre pair de fois, la lampe est éteinte. Supposons maintenant que la lampe soit éteinte, et que je parvienne à appuyer sur le bouton un nombre infini de fois, par exemple en le pressant une fois au cours de la première minute, une seconde fois durant la demi-minute suivante, et ainsi de suite, conformément à la recette de Russell. Après que j'ai complété en totalité la série infinie des pressions – c'est-à-dire à l'issue des deux minutes – la lampe est-elle allumée ou éteinte ? Il semble impossible de donner une réponse à cette question. Elle ne peut être allumée, car je ne l'ai jamais allumée sans aussitôt l'éteindre. Elle ne peut être éteinte, car j'ai commencé par l'allumer et, par la suite, ne l'ai jamais éteinte sans la rallumer aussitôt. Mais la lampe doit être ou bien allumée, ou bien éteinte. Il y a là une contradiction.
J.F. Thomson, « Tasks and super-tasks »3
On ne peut manquer de remarquer que Thomson avance dans ce passage trois affirmations distinctes, qu'il semble envisager d'un même mouvement mais qui sont en réalité très séparables. La première est que si l'on demande si la lampe est allumée ou éteinte à l'issue des deux minutes, il semble impossible d'y apporter une réponse. Cette affirmation est elle-même ambiguë, et peut simplement vouloir dire que nous ne sommes pas en mesure de savoir, que nous semblons en effet incapables de déterminer la réponse à la question à partir des données du problème. La seconde affirmation est que la lampe ne peut pas être allumée, et, symétriquement qu'elle ne peut pas être éteinte. Et la troisième est que la lampe doit être, ou bien allumée, ou bien éteinte, que tout tiers est exclu. Ce qui, combiné à la seconde affirmation, donne en effet lieu à la contradiction que Thomson voulait déduire.
Laissons de côté, pour le moment, la troisième affirmation. Si la première, du moins dans une interprétation faible, semble vraie – au sens où rien ne se présente de façon claire comme ce que serait le résultat d'un tel dispositif – il n'en va pas de même de la seconde, et l'argument de Thomson à cet égard est au mieux très mal formulé, au pire incorrect. C'est à Paul Benacerraf qu'il est revenu d'en expliquer pleinement la faiblesse, et nous reprenons ici en substance ses analyses4.
Supposons par exemple que la lampe soit allumée à l'issue du processus. Pourquoi cela serait-il proscrit par le dispositif ? Thomson nous dit qu'elle ne peut être allumée, car je ne l'ai jamais allumée – en appuyant sur l'interrupteur – sans l'avoir par la suite éteinte – en réappuyant sur le même interrupteur. Mais ce qu'une telle chose interdit, est que la lampe soit allumée à la suite immédiate d'une pression déterminée de l'interrupteur – du moins à la manière dont une lampe est usuellement allumée à la suite d'une pression de son interrupteur. Cela ne dit rien en soi sur la possibilité qu'un enchaînement infini d'allumages et d'extinctions produise par ailleurs l'état allumé de la lampe. La réponse selon laquelle la lampe est allumée à l'issue du processus est sans doute arbitraire, certainement insatisfaisante, mais elle n'est pas interdite par les données du problème. De même, bien sûr, pour la lampe éteinte.
Plus largement, comme le remarque Paul Benacerraf, si l'on établit une série de règles attribuant certaines propriétés aux intervalles d'une série infinie convergente, comme le fait Thomson avec le caractère allumé ou éteint de la lampe au sein des intervalles successifs, on ne peut pas en déduire logiquement quoi que ce soit sur les propriétés du point limite5. C'est là une remarque qui s'applique, on le voit, tout à fait généralement aux séries, ou à toutes sortes d'objets qui utilisent une ordinalité transfinie : les propriétés des termes d'une succession indéfinie ne suffisent pas à elles-seules, en général, à fixer la propriété d'un point limite.
Pour illustrer ce point, Benacerraf imagine une description du genre suivant : un objet quelconque est dit, arbitrairement, « loyal » et « infâme », durant chacun des intervalles successifs d'une série zénonienne. Durant la première minute – jusqu'à son dernier instant, celui-ci excepté – il est dit « loyal », puis dit « infâme » la demi-minute suivante – à partir de son premier instant, celui-ci inclus –, puis « loyal » durant le quart de minute qui suit et ainsi de suite. L'objet est-il loyal, infâme, les deux ou ni l'un ni l'autre, à l'issue des deux minutes, à l'instant limite ? Nous ne pouvons pas répondre, parce qu'avoir établi le statut de l'objet pour chacun des instants qui précèdent n'implique pas en général de pouvoir établir son statut à l'instant limite. Ainsi, remarque-t-il, en l'absence d'une prémisse supplémentaire, rien ne nous permet d'interdire que la lampe, à l'issue des deux minutes, soit allumée, éteinte, voire se soit évanouie, changée en crapaud, ou quoi que ce soit d'autre.
On peut néanmoins accorder un meilleur crédit à l'argument de Thomson si on le replace dans le contexte de ce que nous comprenons comme la thèse générale de son auteur. Celui-ci ne cherche pas vraiment, en effet, à prouver que l'état allumée de la lampe à la suite d'une série infinie d'oscillations est une situation contradictoire, mais plutôt qu'il est inconsistant, inconcevable, de poser quelque chose comme l'état résultant d'une série infinie d'opérations. À ce titre, si la lampe se trouve allumée, ce n'est du moins pas parce que je l'ai allumée, et de même si elle se trouve éteinte. Si elle est supposée allumée à l'issue de l'opération, il semble à tout le moins que 1/ nous ne comprenons pas en quel sens exactement cet état allumé résulte de la série, mis à part le fait qu'il la suit immédiatement, et 2/ certainement ce sens, quel qu'il soit, n'est pas celui selon lequel chacun des autres états de la lampe dans la série infinie a résulté d'une opération déterminée.
Il est clair que Thomson sous-entend que rien d'autre n'est supposé intervenir pour garantir une lampe allumée ou éteinte à l'instant limite, et ce qu'il veut interroger en demandant l'état de la lampe est bien le résultat, sans reste, de la supertâche, ce que Thomson appelle son « net result6 ». Le point de Thomson, ce qu'il désire établir en 1954, est qu'aucune supertâche ne peut avoir un « résultat net », et que pour cette raison aucune supertâche, pas même la série zénonienne, n'est réellement une tâche, quelque chose qui pourrait être accompli.
En particulier, il s'oppose à l'idée selon laquelle, sous prétexte que la série de Zénon converge vers le point d'arrivée, celui-ci doit être considéré comme le résultat (net) de la série, car, comme le remarquait déjà Max Black, la limite d'une série infinie n'est pas littéralement le résultat à l'issue d'une opération infinie de sommation – ce dont nous ne savons pas faire sens – mais ce vers quoi tendent les étapes dans leur succession, selon la définition de Weierstrass. Selon l'interprétation normale de ce qui constitue le résultat d'un calcul, il serait tout simplement faux de supposer que la limite d'une série convergente est un tel résultat : si une machine – par exemple une machine de Turing – accomplit l'addition successive des rationnels décroissants de Zénon (1⁄2 + 1⁄4 + 1⁄8…) on peut considérer que la machine définit effectivement un réel, mais il est aussi clair qu'elle ne donnera jamais le résultat de la série. Par construction ce résultat n'est jamais le résultat d'une computation, et par hypothèse la machine ne cesse jamais d'exprimer des sommes partielles. Ce que la machine nous montre, c'est qu'au sens ordinaire de la computation, il n'y a pas de résultat de cette sommation infinie qui soit littéralement le résultat d'une sommation, mais seulement une limite que l'on définit comme le résultat de la somme7.
Mais en dépit de l'excellence de ces analyses, un problème demeure : elles ne sont pas à elles seules convaincantes s'il s'agit d'établir la seconde prémisse de Thomson, posant l'impossibilité des supertâches. Car, en admettant qu'une supertâche n'ait pas de résultat final intrinsèque, devons-nous pour autant supposer que toute tâche pouvant être accomplie a un résultat final intrinsèque ? Ce point, notons-le, est nécessaire pour pouvoir conclure à la prémisse 2. Mais cette dernière – qu'il est logiquement absurde d'achever l'infini – nous paraît par elle-même bien plus convaincante que la raison très abstraite – toute tâche doit avoir un résultat final intrinsèque – qui est censée la justifier.
Admettons qu'avec l'expérience et l'analyse de la lampe, Thomson soit capable de nous convaincre des deux choses suivantes : d'une part, que nous ne savons pas faire sens de ce que serait un « résultat net » d'une supertâche ; d'autre part, qu'il est impossible que se trouve accomplie, entre un instant t et un instant t' postérieur, exactement une supertâche et rien d'autre. Nous pouvons commencer par noter ce que second point est évident, et en quelque sorte trivial : en effet, une supertâche telle qu'ici définie n'a pas de dernier instant, comme toute série zénonienne. Il faut donc bien que le sujet accomplissant la tâche soit au moins aussi existant à l'instant limite, dans un état qui nécessairement n'appartient pas aux états prescrits par la série. Accomplir une supertâche et strictement rien d'autre est donc bien impossible, mais cela signifie-t-il qu'il soit impossible d'accomplir une supertâche et aussi autre chose qui se trouve impliqué par la supertâche ?
Dans le cas de la lampe, tel que Thomson le met en place, un état de la lampe est requis qui est censé être le résultat net de la série infinie. Mais Thomson n'a rien fait pour nous convaincre du fait qu'une supertâche est impossible dans un cas où un « résultat net » n'est pas requis. Supposons par exemple que nous programmions une machine à calculer infinie, afin qu'elle vérifie successivement l'ensemble de toutes les décimales de π, à la recherche d'un certain enchaînement de décimales (par exemple, 18 fois d'affilée le chiffre 7). Nous ne nous attendrions certes pas à ce qu'il y ait un résultat net de cette supertâche qu'est l'opération de computation des décimales ! Cela serait absurde, puisqu'il n'y a pas de dernière décimale. Nous ne nous attendrions pas non plus à ce que la machine à calculer soit capable d'accomplir entièrement la computation de toutes les décimales et de ne se trouver dans aucun état extérieur à cette computation, puisqu'elle n'a pas de dernier état. Mais si c'est là tout ce qui est susceptible de nous déranger, pourquoi ne pourrions-nous ordonner la vérification, en attendant comme résultat à l'instant limite non pas la « dernière décimale » vérifiée, mais la réponse à la question de savoir si la séquence recherchée existe ou non ? Nous programmons la machine pour qu'elle accomplisse une supertâche, et donne immédiatement après, à l'instant limite, le résultat qui découle de l'accomplissement de la supertâche sans pour autant en être le résultat net.
Or, l'échec de Thomson à prouver sa prémisse impossibiliste a des conséquences immédiates sur sa capacité à établir la différence entre le cas de la course d'Achille et le cas de la supertâche proprement dite, celle de la lampe ou de la machine à calculer infinie. C'est-à-dire que sa faiblesse sur le plan de l'impossibilisme se reporte immédiatement en faiblesse sur le plan du compatibilisme.
En effet, l'idée de Thomson, si nous la comprenons bien, est qu'il est impossible d'accomplir exactement (sans plus) la « supertâche » décrite par Zénon, parce qu'elle ne nous mène en aucun point, mais que nous pouvons en revanche accomplir chacune des tâches comprises dans cette supertâche sans avoir à accomplir exactement cette supertâche, mais en accomplissant la tâche ordinaire qui consiste à aller d'un point à un autre.
Mais qu'il ne soit pas requis d'accomplir exactement une supertâche, et qu'en fait en accomplir tous les éléments nous oblige à nous trouver d'une certaine manière déjà au-delà d'elle, en quoi cela devrait-il nous convaincre que nous n'avons pas, aussi, à accomplir la supertâche en question, ne serait-ce qu'en passant et sans y prêter attention ?
Thomson affirme que si quelqu'un nous ordonnait de parcourir toutes les étapes zénoniennes l'une après l'autre, la seule manière intelligible de comprendre cet ordre serait de comprendre qu'il nous ordonne d'achever un parcours ordinaire. Et il en conclut que la formulation d'origine apparaît « comme une sorte de plaisanterie ». Mais cela n'est pas exact. Il est vrai qu'un parcours ordinaire de A à B est la seule manière possible d'achever cette tâche, puisqu'en général nous ne pourrions jamais avoir accompli exactement une supertâche au sens où il faut bien que nous nous trouvions dans un lieu donné à l'instant limite qui n'appartient pas au temps de la série. Mais cela ne veut pas dire que nous ne comprenons pas littéralement la supertâche et que nous ne l'accomplissons pas littéralement en accomplissant le parcours ordinaire.
Il est clair que la tâche ordinaire n'est pas identique à une supertâche. Mais en quoi Zénon échoue-t-il à nous convaincre que, accomplissant la tâche ordinaire, nous sommes forcés d'accomplir aussi une supertâche – de même qu'en demandant à notre machine à calculer de nous informer sur la présence d'une certaine séquence dans le développement décimal de π, nous lui demandons, pour y parvenir, d'accomplir aussi une supertâche ? Si Achille courant après la tortue achève sa tâche ordinaire, n'achève-t-il pas ipso facto la supertâche, précisément parce qu'il accomplit chacun de ses termes, de même que notre machine à calculer accomplit une supertâche parce qu'elle a vérifié chaque terme du développement décimal ?
En raisonnant comme il le fait, Thomson semble commettre un contresens sur l'intention derrière l'argumentation de Zénon, et celle de ceux qui à sa suite, dès l'Antiquité et jusqu'à Max Black, ont associé la course d'Achille avec des supertâches. Personne en effet n'a jamais prétendu que la tâche ordinaire d'Achille était une supertâche. Ce que Zénon a cherché à montrer est en revanche que la supposition de l'achèvement d'une tâche ordinaire quelconque – à condition qu'elle soit continue – impliquait l'accomplissement d'une supertâche. Et ses successeurs ont cherché à exhiber ce caractère de supertâche de la série zénonienne en la mettant en parallèle avec des inachevables manifestes du type du compte infini ou de la machine de Black. Ce parallèle, les critères de Thomson ne permettent pas de le remettre en question, comme nous avons essayé de le montrer, et ses efforts ne suffisent pas à répondre à l'aporie.
Il reste vrai, bien entendu, que Thomson ait eu raison de pointer une différence fondamentale entre les tâches zénoniennes comme celle d'Achille et au moins certaines supertâches comme celle de la lampe, à savoir précisément que les secondes peuvent, apparemment, poser un certain problème spécifique au niveau de leur être achevé, que les premières ne posent pas – nous reviendrons sur la nature de ce problème. Mais plus fondamentalement, les unes comme les autres posent un problème au niveau de leur achèvement, en tant que celui-ci est distinct de leur être achevé.
La raison pour laquelle une supertâche n'est pas une tâche, au sens de Thomson, c'est-à-dire le fait qu'elle ne puisse avoir apparemment un « résultat net », un état résultant d'elle et uniquement d'elle, n'est selon nous qu'un indice ou une conséquence d'un fait bien plus fondamental. À savoir le fait qu'elle est un inachevable au sens de Zénon : quelque chose qui ne saurait intrinsèquement prendre fin. Et si elle ne peut s'accomplir, ce n'est pas, comme le croit Thomson, en raison de cette absence de résultat net, mais plus directement en vertu de ce que nous avons appelé le principe d'achevabilité, selon lequel un processus qui est dépourvu d'achèvement intrinsèque ne saurait non plus se trouver avoir intégralement été accompli. Autrement dit, le problème ne se situe pas au niveau du résultat lui-même (d'une lampe ni allumée ni éteinte), mais du passage entre le plan du faire et le plan de l'être-fait.
Ainsi l'article de Thomson rejoue la tragédie de Black, qui semblait avoir cerné le problème de l'inachevable pour finalement le perdre. De même que Black commençait par une intuition de l'absurdité de l'achèvement d'une tâche infinie, mais la perdait en la réduisant à la contradiction produite par un certain type d'être achevé, de même ici l'inachèvement comme tel, indépendamment de l'existence ou non d'un résultat qui n'en est qu'un symptôme, est finalement perdu de vue.