Après la très riche discussion initiale menée au sein de la revue Analysis, et dont nous n'avons pu commenter que quelques éléments ici, le problème des supertâches a connu un second grand moment autour des années 1960. S'y publient trois pièces majeures, par Paul Benacerraf, Charles S. Chihara et J. F. Thomson, qui viennent réfléchir logiquement les idées de la décennie qui précède et représentent trois exemples de ce dont la philosophie analytique pur jus est capable à son meilleur1. Commençons par examiner la seconde des trois.
L'objet premier de l'article de Chihara n'est pas, n'est plus, de proposer un nouvel argument en faveur de l'impossibilité des supertâches. Mais d'établir un critère permettant de distinguer les « vraies » supertâches des tâches simplement zénoniennes.
Quel que ce soit en effet l'échec ou le succès de Max Black et J. F. Thomson, remarque-t-il, il reste certain que quiconque réfléchit à ces questions sera conduit à juger impossible l'achèvement d'au moins certains processus infinis – ceux, par exemple, du genre « calculer et énumérer successivement toutes les décimales du nombre π ». Cette impossibilité est au minimum physique, proscrite par les lois connues de la nature ; et certains, mais pas tous, iront jusqu'à la dire logique. Personne en tout cas ne semble croire que l'inexistence d'une machine capable d'un tel exploit est purement contingente, ou telle que nous pourrions espérer la surmonter par une innovation technologique. Comme il l'écrit, il semble du moins que le sens selon lequel des processus de ce type sont impossibles est très fort, allant peut-être jusqu'à, en un sens ou l'autre, l'« inconcevabilité » – nous y reviendrons dans les sections qui suivent.
Le problème plus urgent qui se pose est alors, non pas de tenter de prouver cette impossibilité, mais de comprendre ce que nous devons faire de l'analyse zénonienne de la course d'Achille, qui semble impliquer qu'une tâche infinie du même type soit effectivement achevée avec tout mouvement en général. Car Chihara ne se trouve pas satisfait – il nous faudra garder cela en tête – par les réponses qu'il voit à l'œuvre chez des auteurs comme Hermann Weyl, réponses censées nous convaincre du fait qu'Achille n'a pas en fait vraiment à parcourir successivement une infinité d'intervalles – ces auteurs héritant de la réponse compatibiliste antique, celle des aristotéliciens et des stoïciens.
Chihara se propose de résoudre nouvellement la question, en trouvant un critère qui distinguerait clairement et tout à fait généralement en quoi les situations que nous croyons réelles et pour lesquelles une analyse zénonienne peut être menée – en somme, les processus continus – ne donnent en fait pas lieu à une situation de supertâche véritable.
La solution, pour Chihara, se trouve dans la notion de « suite infinie engendrée par analyse ». Celle-ci est élaborée d'une manière formelle et technique dans l'article de 1965, mais nous pouvons en donner ici sans dommage une explication plus informelle.
Comme nous l'avons développé en introduction, l'inachevable zénonien, comme tout infini opératoire, est d'abord le produit d'une construction logique : le raisonnement itératif indéfini. Dans un tel raisonnement, rappelons-le, les prémisses posées sont telles que nous sommes entraînés, en suivant les déductions qu'elles permettent, dans une production circulaire indéfinie :
Chihara nous demande de considérer une telle élaboration langagière comme une règle prescrivant la production d'une suite de termes. Dans le cas présent, il s'agit de la suite des conclusions permises, conclusions qui racontent les événements successifs de l'existence de Sisyphe aux enfers (« Sisyphe parvient au sommet, puis la roche retombe, puis il remonte au sommet, puis la roche retombe… »). Cette suite est inachevable, et elle est donc « infinie » si nous la considérons en totalité, relativement à l'accumulation de ses termes.
Nous pouvons ainsi reconsidérer l'aporie zénonienne comme la formulation d'une règle prescrivant l'engendrement d'une suite infinie de propositions :
Achille a traversé la première moitié du parcours
Achille a traversé le troisième quart (la moitié du parcours restant)
Achille a traversé le septième huitième (la moitié du parcours restant)
… et ainsi de suite à l'infini.
Il en va naturellement de même pour les supertâches « canoniques ». L'idée d'une machine qui, par exemple, calculerait et énumèrerait l'ensemble des décimales de π, peut être considérée comme une règle prescrivant l'engendrement de la suite infinie de propositions suivante :
La machine a calculé la première décimale de π
La machine a calculé la seconde décimale π
La machine a calculé la troisième décimale de π
… et ainsi de suite à l'infini.
L'argument de Zénon, d'après l'analyse de Chihara, consiste à nous convaincre que le mobile doit ainsi « rendre vraies », successivement, l'ensemble des propositions d'une suite qui n'a aucune fin. Comme elle n'a pas de fin, nous ne comprenons pas comment elle pourrait se trouver avoir été achevée, de même que la « conjonction infinie » du type :
« Achille a traversé la première moitié, puis le troisième quart, puis le septième huitième, puis… »
est manifestement inachevable. Nous ne comprendrions pas comment elle pourrait s'être réalisée « entièrement », de même que nous ne comprendrions pas comment pourrait être réalisée la conjonction infinie :
« La machine a calculé la première décimale, puis la seconde, puis la troisième, puis… », etc.
Au lieu de ces impossibles conjonctions infinies, considérons maintenant les conjonctions finies suivantes :
« Achille a traversé la première moitié, puis le reste du parcours après la première moitié »
Et :
« La machine a calculé la première décimale, puis toutes les décimales qui font suite à la première »
La structure en est claire : la première partie de ces phrases est une des propositions de la suite infinie et la seconde partie énonce la réalisation de l'ensemble de ce qui reste. Regardons ces secondes parties de plus près :
« [Achille a traversé] le reste du parcours après la première moitié »
« [La machine a calculé] le reste des décimales après la première »
Nos règles d'engendrement nous permettent de savoir que ces phrases simples sont équivalentes aux conjonctions finies suivantes :
« Achille a traversé le troisième quart puis le reste du parcours après le troisième quart »
« La machine a calculé la seconde décimale, puis le reste des décimales après la seconde »
En effet, d'après l'argument de Zénon, traverser la seconde moitié équivaut à traverser le troisième quart puis le reste du parcours. C'est précisément cette équivalence, cette structure de récursivité, qui autorise l'engendrement infini des propositions : il y a toujours un reste, et ce reste permet itérativement de produire un nouvel élément auquel fait suite un reste.
Pour la même raison, toutes les phrases qui suivent sont équivalentes entre elles :
« Achille a traversé la première moitié puis [le reste du parcours] »
↔
« Achille a traversé la première moitié puis [le troisième quart puis [le reste du parcours]] »
↔
« Achille a traversé la première moitié, [le troisième quart, [le septième huitième, puis [le reste du parcours]]] », etc.
Dans tous les cas, le dernier membre de la conjonction peut jouer le rôle d'un générateur, qui autorise un allongement indéfini. Et il en va de même pour la machine à calculer.
« La machine a calculé la première décimale, puis [le reste des décimales] »
↔
« La machine a calculé la première décimale, puis [la seconde, puis [le reste des décimales]] »
↔
« La machine a calculé la première décimale, puis [la seconde, puis [la troisième, puis [le reste des décimales]]] », etc.
Dans les deux cas, c'est là ce qui apparente l'aporie zénonienne et les supertâches, il y a engendrement successif de propositions, à partir d'une équivalence entre d'une part la phrase simple génératrice : « et s'accomplit le reste qui suit la n-ème étape », et d'autre part la conjonction : « et s'accomplit la n+1-ème étape, puis le reste qui la suit ».
Mais voilà, il y a une différence décisive entre les deux suites de propositions. Plus précisément, il y a une différence décisive en ce qui concerne le mode d'engendrement qui fait passer d'une conjonction à la suivante.
Le critère, d'après Chihara, est le suivant : est-ce que la sorte de test qui pourrait être employé pour déterminer si la n-ème étape a été accomplie – c'est-à-dire si la n-ème proposition est vraie – pourrait aussi l'être pour déterminer si « le reste qui suit la n-ème étape » a été accompli, c'est-à-dire si la proposition génératrice correspondante est vraie ?
Si oui, on dira que la suite infinie, apparemment inachevable, est « engendrée par analyse » – plus rigoureusement, on dira qu'une suite infinie est « engendrée par analyse » s'il est possible de la générer avec une proposition qui a cette propriété.
Manifestement, cela est le cas pour la suite zénonienne. En effet, la proposition génératrice qui fait suite à, par exemple, « Achille a traversé le septième huitième du parcours » est la phrase : « Achille a traversé le reste du parcours après le septième huitième ». Or, non seulement la même sorte de test peut être employée pour vérifier l'une et l'autre proposition, mais les deux décrivent en fait un acte identique, et un acte ordinaire, à savoir la traversée d'un huitième de parcours ! Et ainsi, à chaque étape du développement infini zénonien, la part qui reste à parcourir, qui va être analysée à l'infini, est identique à la part qui vient d'être parcourue. Achever ce qui reste et qui contient apparemment l'infini équivaut littéralement à achever le bout qui vient d'être parcouru. C'est pour cela que la suite zénonienne est dite une suite infinie engendrée par analyse : elle est littéralement engendrée par l'analyse du continu en ses parties arbitrairement découpables.
Les suites constitutives des supertâches canoniques, en revanche, ne sont pas des suites infinies engendrées par analyse. Car la proposition génératrice qui fait suite à, par exemple, « la machine a calculé la 7ème décimale de π » est : « La machine a énuméré toutes les décimales de π après la 7ème », ce que l'on ne sait pas comment vérifier et qui n'est pas une tâche ordinaire. Et en vérité, il est manifeste que contrairement au cas zénonien il n'y a pas de tâche ordinaire et apparemment simple que l'on puisse analyser en une infinité de sous-tâches consistant à énumérer les décimales de π. La suite de l'engendrement des décimales de π n'est donc pas une suite infinie engendrée par analyse.
Tout ceci est fort convaincant. Mais la question demeure néanmoins : cette différence est-elle pertinente, en ce qui concerne le problème de l'inachevable ? Une des suites infinies est « engendrée par analyse », l'autre ne saurait l'être, fort bien. Mais pourquoi l'une est-elle pour autant plus réalisable que l'autre ?
Le propos de Chihara semble en fait être le suivant : contrairement aux apparences, le fait de rendre vraie une suite infinie de propositions exprimant le parcours des intervalles successifs n'est pas équivalent au fait d'accomplir une suite infinie de parcours successifs, en sorte que, si le second exploit est bien impossible, cette impossibilité ne se transmet pas au premier. Car le premier consiste en fait à, par un acte simple, rendre vrais tous les éléments d'une suite infinie engendrée par l'analyse de cet acte.
Malheureusement, il nous semble que cette remarquable et correcte analyse échoue complètement à protéger l'exploit d'Achille de l'impossibilité des supertâches.
Car ce que nous dit l'auteur, c'est que si le mobile peut accomplir un parcours quelconque, alors il peut accomplir quelque chose qui suffit à faire qu'une règle prescrive l'énumération d'une infinité de propositions qui sont toutes vraies. Cela est évident.
Et l'on ne peut, bien sûr, que reconnaître le fait qu'accomplir une chose qui rende vraie une infinité de propositions distinctes n'implique pas en général d'accomplir une infinité de choses distinctes. Pour donner un exemple particulièrement trivial de ce point, que Pierre mange une pomme est la condition nécessaire et suffisante pour rendre vraie l'infinité des propositions suivantes : « Pierre a mangé une pomme et 1 + 1 = 2 », « Pierre a mangé une pomme et 2 + 1 = 3 », etc. Il est manifeste que cela n'implique pas de soi-même l'achèvement d'un infini.
Finalement, il est en effet manifeste qu'il nous est toujours possible de considérer ainsi la situation de la course d'Achille, et de ne pas la regarder comme une suite inachevable de parcours partiels. Mais en vérité, tout cela ne nous semble rien changer au problème. Car pourquoi ne pas regarder la suite d'Achille comme une telle suite inachevable ? Il est certain que si le mobile peut achever un parcours quelconque, alors il peut rendre vraie une infinité des propositions en vertu d'une règle générative. Mais peut-il achever un parcours quelconque ?
Mettons-nous à la place du coureur : pour achever un parcours quelconque donné, il lui faudrait pour commencer en parcourir la moitié. Arrivé à cette moitié, il lui faudrait encore parcourir la moitié restante, assurément. Il devrait donc en parcourir d'abord la moitié. Et ainsi de suite. La suite de ces étapes forme, nous le savons, une série sans fin, et Chihara ne nous a pas donné de raison de ne pas les attribuer effectivement au mobile. Mais nous savons par ailleurs, en prenant du recul, que cette série devrait avoir été achevée si le mouvement entier doit l'être, dans la mesure où tous les membres de la série prennent place avant l'accomplissement total du mouvement. Si le mobile pouvait achever un parcours quelconque, il devrait par impossible avoir achevé une série infinie de parcours, et tout mouvement est par conséquent impossible.
Autrement dit, il est certain qu'en général rendre vraie une infinité de propositions n'implique pas d'accomplir une infinité d'actes, mais pourquoi cela n'est-il pas impliqué dans ce cas précis, où les propositions de la suite ne sont pas seulement toutes rendues vraies, mais rendues vraies successivement dans le temps dans l'ordre même de leur génération par la règle ? En sorte que (c'était là selon nous le cœur de l'argument de Zénon) le caractère inachevable de la suite de propositions produites par la règle se transmet directement à la tâche que cette série de propositions que la règle nous permet de décrire, qui est le parcours successif des parties.
Chihara remarque très justement, il est vrai, que dans le cas zénonien la tâche ordinaire, qui est analysée en l'infinité de propositions qu'elle rend vraies, peut rendre vraies différentes séries, infinies ou non, de propositions engendrées par une règle. Car l'argument de la Dichotomie décrit la course comme un parcours d'ordre 1/2 + 1/4 + 1/8 + …, mais il serait également possible de produire une règle qui génère un parcours d'ordre 1/3 + 2/9 + 4/27 + …. Ces séries peuvent être choisies de façon relativement arbitraire, et dans tous les cas elles sont toutes « rendues vraies » par l'accomplissement de la course. Et cette remarque est une autre manière précieuse de rendre sensible à ce que cela signifie de dire que l'infinité zénonienne est produite par analyse du continu : le continu est précisément ce qui rend possible cette richesse inépuisable des analyses zénoniennes possibles, toutes équivalentes.
Dans le cas des supertâches, en revanche, la tâche est singulièrement différente pour chaque règle, car elle n'est pas le produit de l'analyse d'une tâche ordinaire. Par exemple on peut tenter, pour montrer son impossibilité, de mettre en équivalence la tâche zénonienne avec une supertâche consistant à compter tous les nombres entiers dans l'ordre, mais aussi par exemple avec une tâche consistant à compter uniquement tous les nombres pairs dans l'ordre ; ou à calculer les décimales de π dans l'ordre, etc. Il est manifeste qu'il n'y a pas une tâche unique donnée qui rendrait vraie l'une et l'autre de ces supertâches.
Mais dans tous ces développements, Chihara nous paraît considérer les choses en quelque sorte à l'envers. Ce n'est pas, contrairement à ce qu'il suggère, que l'on a confondu d'une manière ou d'une autre l'analyse d'un mouvement simple avec la fixation d'une tâche comparable à des tâches impossibles. C'est au contraire qu'on a voulu montrer que si certaines conditions étaient données (à savoir la continuité du mouvement et une certaine façon de la considérer), alors l'accomplissement de la tâche ordinaire du mouvement impliquait l'accomplissement d'une série infinie de tâches – ou plus exactement de toute une gamme inépuisable de différentes séries infinies – accomplissement qui, lui, était comparable à l'accomplissement de tâches impossibles. Et par conséquent, le mouvement était prouvé impossible. Si le mouvement pouvait avoir lieu, chacune des séries inachevables qu'il implique devrait pouvoir prendre place, mais aucune ne le peut.
Chihara nous semble bien admettre que l'achèvement d'une série infinie de parcours est impossible ; et il nous montre comment dans certains cas la série infinie des étapes peut-être engendrée par l'analyse d'un acte unique. Mais il ne nous a pas dit pourquoi la série infinie des étapes engendrées par analyse n'impliquait pas une infinité de parcours.
C'est à présent qu'il convient de nous souvenir que Chihara n'était « pas convaincu » par les réponses qu'il voit à l'œuvre chez des auteurs comme Hermann Weyl, censées nous persuader du fait qu'Achille n'a pas en fait vraiment à accomplir le parcours successif d'une infinité d'intervalles. Mais Chihara, contrairement à ce qu'il semble croire, a absolument besoin d'une justification de ce genre. L'analyse de cet auteur n'est concluante (c'est-à-dire qu'elle ne résout le dilemme) qu'à la condition expresse que l'on juge qu'Achille n'a pas vraiment à accomplir une tâche infinie, qu'il n'a pas vraiment à accomplir une série inachevable, mais que chacune des tâches apparemment inachevables que l'on peut lui assigner est essentiellement le résultat de l'analyse d'un parcours dont, comme disait Aristote, « l'être et l'essence sont autres ». Il a besoin, autrement dit, d'un argument qui lui permette de conclure, du fait que la suite infinie est engendrée par analyse, au fait qu'elle ne décrit pas une succession d'actes distincts. C'est-à-dire qu'il doit affirmer que l'analyse que nous pouvons faire du mouvement ne peut être rétroactivement reportée sur sa composition. Il lui faut affirmer une thèse que nous appelons « compatibiliste ».