Entreprenant de réaborder ainsi la littérature sur les supertâches, nous croyons nous rattacher à une de ses dimensions intrinsèques, présente dès l'origine, mais qui n'a peut-être jamais été si nettement exprimée que par Yuval Dolev dans un article de 2007 auquel nous devons beaucoup1. Sa thèse principale est ainsi qu'il est erroné de considérer les supertâches comme posant un problème d'impossibilité logique (au sens où l'entendait Paul Benacerraf), et qu'il faut plutôt les considérer comme des problèmes portant sur nos intuitions relatives au temps, qui est le véritable domaine de pertinence des arguments, comme on peut s'en convaincre en réfléchissant au « véritable » problème de Thomson, ce qui motive son argumentation et son souci. À savoir : ce qui dysfonctionne dans notre pensée du temps quand nous admettons des supertâches.
Si Dolev n'est pas le premier à remarquer que les supertâches, à défaut d'être contradictoires, entrent en contradiction avec nombre de nos prémisses implicites relatives à la nature des phénomènes temporels, nous ne connaissons pas d'autre auteur qui soit allé jusqu'à considérer les supertâches comme une méthode d'enquête sur nos intuitions temporelles et leur viabilité, méthode qui révèle une pluralité et une finesse des principes temporels susceptibles d'être bafoués.
Pour cet auteur, le problème que posent à la raison les supertâches envisagées par Thomson et Benacerraf est l'infraction à deux principes distincts, que nous pouvons nommer le « principe de connexion temporelle » et le « principe de continuité temporelle ». Nous comprenons aisément les deux principes en montrant la manière dont la Lampe les enfreint.
Supposons qu'à l'instant limite faisant suite à la série des allumages et extinctions, la lampe se trouve allumée. Nous pouvons remarquer deux choses : d'une part, il est impossible de comprendre cet état allumé comme résultant de la série infinie, ce qui est manifesté par le fait que nous pourrions tout aussi arbitrairement supposer la lampe éteinte, ou changée en crapaud, si nous en croyons Paul Benacerraf. Allumée, éteinte, ou autre, nous devons postuler par nous-même cet état de la lampe et il ne nous semble pas possible de le connecter au processus temporel censé y mener. C'est là l'infraction au principe de connexion temporelle.
Mais cet état allumé supposé de la lampe a un second défaut : c'est qu'aussi temporellement proche de lui qu'on le souhaite, on peut trouver un instant où la lampe est éteinte. Aussi proche de l'instant limite que l'on se rapproche, rien ne nous « prépare » pour ainsi dire, à l'état limite de lampe qui paraît surgir de manière discontinue : l'état à l'instant limite n'est pas lui-même la limite des états qui le précèdent. C'est là l'infraction au principe de continuité temporelle.
Dolev soutient que de ces deux problèmes, le premier peut trouver une solution et se voir respecté par des supertâches « à la Thomson », à la condition de renoncer à certaines prémisses. Que le second, en revanche, ne le peut, qu'il est nécessairement enfreint par les supertâches et qu'il constitue le véritable problème posé par ces dernières. Or, s'il en est ainsi, il devient possible de séparer le problème des supertâches du problème de l'inachevabilité, et donc du problème de Zénon. Dolev écrit en effet :
Si mon analyse est correcte, la perplexité que causent en nous les supertâches prend racine dans leur violation inévitable de la seconde exigence. Ainsi, il est faux de penser que le défi qu'elles posent provient du fait qu'une infinité de tâches sont complétées dans un temps fini. Comme nous l'avons vu, il semble n'y avoir rien de logiquement répréhensible dans cette idée. Mais alors, une fois que cette idée paraît viable, la question du résultat d'une supertâche devient pressante. Et je soutiens que s'il est difficile de l'affronter, c'est du fait de la discontinuité temporelle que nous rencontrons au bout d'une supertâche, et à laquelle nous ne pouvons échapper. (…) Et c'est cela qui constitue la différence entre les supertâches et les scénarios de Zénon, dont la description implique des séries convergentes ou des fonctions continues. Non pas qu'il n'y ait rien de déroutant dans les scénarios de Zénon. Au contraire, je pense qu'ils continuent à ce jour de poser un défi conceptuel. Mais, parce qu'ils n'impliquent pas des discontinuités temporelles du genre dont nous discutons ici, le défi qu'ils soulèvent est différent de celui que soulèvent les supertâches.
Yuval Dolev, « Super-tasks and Temporal Continuity »2
Dans ce qui suit, nous voudrions accomplir deux choses. D'une, montrer la fertilité de l'approche de Dolev. Mais, de deux, montrer son insuffisance. Car il nous semble possible de montrer, contrairement à ce qu'il soutient, que le principe concluant à l'impossibilité des tâches zénoniennes – à savoir le principe d'achevabilité – est lui aussi nécessairement à l'œuvre dans notre jugement sur les supertâches. C'est-à-dire que, si Dolev semble correct lorsqu'il situe le problème au niveau des intuitions fondamentales de la temporalité, les intuitions qu'il soulève sont inadéquates, car elles manquent encore de considérer le point de vue fondamental du faire, comme distinct de l'être-fait. Dolev, après Black et Thomson, croit pouvoir situer le problème dans la nature de l'état résultant, et ainsi, à son tour, le manque finalement.
Notons que, pour distinguer les supertâches « à la Thomson » des simples successions infinie « à la Zénon », Yuval Dolev donne bien une définition des supertâches qui est indépendante de cette question des principes temporels. Il écrit :
Nous dirons qu'un système dynamique accomplit une supertâche s'il est possible de désigner, c'est-à-dire de décrire, un état par lequel le système passe une infinité de fois au cours de l'accomplissement de la tâche. Ainsi, marcher d'un point A à un point B n'est pas une supertâche. Mais un ordinateur qui calcule le développement décimal de π, en reconduisant le même algorithme encore et encore, accomplit bien une supertâche3.
Quoique cette définition ait été élaborée afin d'écarter le cas zénonien – ou peut-être précisément pour cela – elle est très instructive même pour celui-ci. En effet, s'il semble que le cas zénonien de la Dichotomie ne consiste pas en la répétition d'un certain état d'un système dynamique, ce que décrit Dolev est la description infinitiste d'un procédé dynamique infiniment réitératif « à la Zénon », c'est-à-dire dont l'accomplissement garantit le retour à l'état initial selon un temps toujours exponentiellement plus court. Le cas zénonien général est la version logique de cette situation dynamique : par exemple dans le cas de la Dichotomie, le mobile ne se retrouve pas itérativement dans le même état, mais il est ramené itérativement à la même situation logique d'« avoir un mouvement à accomplir ». La définition de Dolev nous donne donc un autre mode subtil de distinction du cas zénonien.
Grâce à cette définition, son assertion selon laquelle le principe de continuité définit le problème posé par les supertâches, problème que les processus zénoniens ne soulèvent pas, se prête à vérification. Si l'on peut en effet exhiber une supertâche « en bonne et due forme », conforme à la définition de Dolev, qui n'enfreint pas son principe de continuité, on aura réfuté la thèse. Et si l'on parvient à convaincre du fait que le problème fondamental posé par cette supertâche est partagé par les processus zénoniens, et qu'il réside dans l'infraction au principe d'achevabilité, nous aurons su convaincre de notre propre thèse.
Mais commençons par examiner la fertilité de l'approche de Dolev et de ses principes de connexion et de continuité.
Le premier principe temporel de Dolev, dit principe de connexion, nous renvoie à un aspect du débat Thomson-Benacerraf que nous avons laissé de côté jusqu'à présent. En effet, envisageant les possibles états de la lampe à l'issue de la série infinie, Thomson avait remarqué que la succession « éteinte, allumée… » des états de la lampe équivalait à une suite
0, 1, 0, 1, 0, …
résultant d'une série
0 + 1 − 1 + 1 − 1 + …
des allumages et extinctions – où 0 représente l'état éteint, 1 l'état allumé, +1 l'acte d'allumage et −1 l'acte d'extinction. Il remarquait alors que la mathématique nous indiquait un résultat pour cette somme infinie, à savoir 1/2, dont l'équivalent serait quelque chose comme « une lampe à demi-allumée ». Nous devons expliquer cette remarque.
La mathématique moderne, depuis au moins le XVIIe siècle, s'est donné les moyens de faire sens de l'idée d'une valeur associée à une « somme infinie ». Si nous considérons la série zénonienne 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …, par exemple, nous pouvons lui associer la valeur « totale » de 2, car 2 est, informellement parlant, la valeur que la somme « approche infiniment ». Si la somme « approche » ainsi infiniment un tel total fini, nous pouvons dire qu'il s'agit d'une « série convergente », et à cette série est associée une « suite convergente », infinie, de valeurs, qui sont les « sommes partielles » de la série : 1, 3/2, 7/4, 15/8, … Le premier terme est 1, puis le second est 1 + 1/2, soit 3/2, puis 7/4, puis 15/8, et ainsi de suite, les termes se rapprochant toujours plus de 2, ce qui garantit la convergence de la suite et de la série qui la produit.
Il est pourtant clair qu'à toute somme infinie ne peut pas ainsi être associée une valeur. Par exemple, la série 1 + 2 + 3 + 4 + … a pour suite de valeurs partielles 1, 3, 6, 10, … qui croît au-delà de toute limite. De même, la série 0 + 1 − 1 + 1 − 1 + … a pour sommes partielles la suite 0, 1, 0, 1, 0, … qui n'est pas convergente selon la définition standard, et la théorie classique des séries ne permet pas de donner une valeur totale à des séries infinies non convergentes.
Il existe pourtant des méthodes, plus récentes, pour étendre cette définition standard à de telles séries, et la plus courante est la méthode de Cesàro, qui assigne comme valeur à une série la limite (si elle existe) des moyennes des sommes partielles. Pour la suite 0, 1, 0, 1, 0, … la moyenne des termes de la suite est successivement 0, 1/2, 1/3, 1/2, 2/5, … qui est convergente et tend vers la valeur 1/2, qui peut dès lors être assignée à la somme infinie 0 + 1 − 1 + 1 − 1 + … représentant l'évolution de la lampe.
Thomson pourtant rejette cette indication de la mathématique, au motif que « nous n'attachons aucun sens à l'idée d'une lampe à demi allumée. », et Benacerraf acceptait à sa suite l'idée que l'alternative allumée-éteinte était exclusive. Or, remarque Yuval Dolev, c'est là un étrange postulat. En effet, la lampe de l'expérience ne devrait pas être considéré comme un pur objet logique mais, comme tout système physique réel ou hypothétique, comme un objet continu, qui passe nécessairement de l'un à l'autre de ses états le long d'une gamme d'états intermédiaires. Il est par conséquent au moins concevable de poser qu'une lampe est « à demi allumée », c'est-à-dire au milieu de l'intervalle continu de ses positions allant d'allumée à éteinte. Un état sans doute instable, temporaire, mais qui ne peut en général être exclu.
Supposons donc que certaines supertâches dynamiques admettent une valeur analogue d'une manière ou d'une autre au résultat d'un calcul de Cesàro. Supposer que cette valeur serait le résultat naturel d'une telle supertâche a de nombreux avantages, par rapport à l'attitude désinvolte de Benacerraf considérant que rien n'interdit logiquement que la lampe soit allumée, éteinte, réduite à néant ou changée en crapaud. Ces avantages, en outre, semblent de nature à satisfaire certaines des inquiétudes de Thomson sur le fait que la lampe ne peut être ni allumée ni éteinte, sous prétexte que ni l'un ni l'autre de ces états ne peut être considéré comme le résultat de la succession infinie.
Elle est seule à préserver, pour commencer, la symétrie du processus infini, et préserverait la nature du système et les quantités qu'il met en jeu. Elle produit un « résultat » au sens où l'état final apparaît comme en mesure de nous informer sur le processus dont il est le résultat. Et enfin, en général, elle semble respecter le principe de connexion temporelle, selon lequel l'état terminal est déterminé par l'évolution des états précédents. Cette propriété de connexion, notons-le, pourrait être obtenue par d'autres méthodes qui donnent une valeur à une sommation infinie non-convergente. Ce qui importe est précisément d'avoir une méthode capable de nous indiquer ce qui vaut comme résultat du processus, et de ce processus déterminé.
Le point que veut établir Dolev est que le calcul de Cesàro devrait être considéré comme vraiment pertinent pour la problématique posée par Thomson, qui affirmait qu'on ne « sait pas dire » quel serait le résultat d'une tâche infinie, qu'on n'a pas de « méthode » pour le déterminer, voire qu'il n'y a aucun état possible qui puisse être considéré comme un véritable résultat de l'opération. Or le calcul de Cesàro est mathématiquement tout à fait honorable, et en ce qui concerne son applicabilité physique, du moment que celle-ci fournit de bons résultats il n'est pas évident de savoir pourquoi elle devrait être a priori refusée.
Mais en plus de l'exigence de connexion, que l'adoption d'une méthode adéquate semble pouvoir satisfaire au moins dans certains cas, il y a d'après Dolev une seconde exigence qui nous conduit à refuser la possibilité des supertâches, à savoir l'exigence de continuité, à laquelle ne répond pas, on le voit, la sommation à la manière de Cesàro. Même si l'on peut penser que la valeur « mi allumée » soit le résultat déterminé d'une succession d'allumages et d'extinctions, il reste que, aussi proche de l'instant limite que l'on se rapproche, on peut toujours trouver la lampe pleinement allumée, ou pleinement éteinte, en sorte qu'elle semble « subitement » se trouver dans l'état limite, quel qu'il soit. Il est intéressant de noter que Dolev présente le problème en termes de notre capacité à suivre le mouvement dans l'obtention de ses différents états. Il écrit :
Cette discontinuité, je le maintiens, constitue le problème sérieux posé par la lampe. Si nous prêtons attention à l'évolution de la lampe originelle de Thomson, antérieurement à T, nous n'avons aucune difficulté à suivre ses états successifs tandis que la lampe est allumée et éteinte de façon répétée, car il y a toujours un écart temporel entre ses différents états – ils sont séparés temporellement. L'état « allumé » est significativement différent de l'état « éteint », mais les deux ne sont jamais vraiment temporellement contigus. L'écart temporel séparant les états de la lampe décroit constamment, mais il est toujours là. En revanche, lorsque l'on parvient à T, le concept d'une telle séparation temporelle s'effondre ; nous ne pouvons plus former l'idée d'un écart temporel séparant l'état de la lampe à T de ses états précédents. L'absence de cet écart rend difficile de suivre la lampe alors qu'elle converge vers son état final. Le « saut » discontinu qu'il lui faut faire pour atteindre son état à T est tel que (…) nous avons du mal à l'avaler.
Y. Dolev4
La manière dont Dolev mobilise le principe temporel de continuité concorde comme on le voit avec nos propositions présentes – et, en réalité, les inspire. L'expérience de pensée de la lampe apparaît comme « variation eidétique » de la notion de temporalité, saisie intuitivement en imagination, au cours de laquelle nous nous trouvons incapables de reconnaître l'objet considéré comme instance du temporel. Cette incapacité nous permet en retour d'exprimer une intuition, principe synthétique à priori conditionnant l'application du concept de temps. Dolev écrit :
Quelles que soient nos raisons, transcendantales, pragmatiques, ou autres, si nous acceptons que nous ne parvenons pas à faire sens de la notion de discontinuité dans le temps, alors, à l'évidence, nous devons exclure comme inconcevable une lampe qui parvient d'un « saut » à l'état demi-allumé ; non pas pour des raisons logiques ou mathématiques, mais parce que cela est inconsistant avec notre conception du temps, ou, plus précisément, de la temporalité, du fait d'être dans le temps5.
Reconnaître le principe de continuité temporelle comme constitutif – à condition bien sûr que nous le fassions, nous reviendrons sur ce point dans un instant – ne peut cependant pas, nous suivons Dolev sur ce point, être pris à un niveau simplement fondationnel, inaccessible à la réfutation et de « certitude apodictique », pour reprendre le vocabulaire kantien. Car la science empirique, et la confrontation générale à l'expérience, met toujours au défi notre organisation conceptuelle entière. Si, notamment, des résultats de la physique expérimentalement établis nous condamnaient à reconnaître des mouvements discontinus – mais Dolev juge, à raison, qu'il n'en va pas pour l'instant ainsi – il nous faudrait trouver une manière nouvelle de faire sens du temps.
Nous pouvons tester les propos de Dolev en examinant une autre élaboration théorique que lui-même ne considère pas : le « paradoxe de Ross » – dit parfois paradoxe de Ross-Littlewood.
Il s'agit en substance de la situation hypothétique suivante : supposons une supertâche consistant à ajouter et détruire, durant un temps zénonien, des boules numérotées, en sorte qu'à chaque étape n de l'opération, à partir de 0, les boules numérotées de 10n à 10n + 9 sont ajoutées, et la boule numérotée n est détruite. Ainsi, à l'étape 0 sont ajoutées les boules numérotées entre 0 et 9, puis est détruite la boule #0. À l'étape 1 sont ajoutées les boules #10 à #19 puis est détruite la boule #1 et ainsi de suite à l'infini en un temps fini.
La conclusion de Ross, à laquelle il ne semble pas possible d'échapper, est qu'à « l'issue » infinie de l'opération, toutes les boules sont détruites. En effet, toutes les boules ajoutées étaient numérotées par un entier n, et, pour tout n, la boule #n a été détruite à l'étape n. Il n'en reste donc aucune. Le paradoxe est bien sûr que l'opération qui débouche sur ce résultat nul consiste en l'ajout, infiniment répété, de 9 boules. Autrement dit le nombre de boules « explose », suivant une courbe asymptotique à l'infini à l'approche de l'instant limite, mais le résultat à l'instant limite est nul.
Paradoxe de Ross : le nombre de boules croit à l'infini à l'approche de l'instant limite, mais le résultat est nul.
Le paradoxe a été examiné en grand détail dans la littérature, où l'on note par exemple qu'il est aisé de décrire d'autres dispositifs, où 9 boules sont là aussi ajoutées à chaque étape, mais dont le « résultat » limite est différent. Il peut en fait être prescrit presque arbitrairement, avec un nombre fini ou infini de boules restant à la fin, selon la manière dont on décide de décrire la numérotation des boules : si, à chaque étape n, je détruis la boule #(n+3), il restera trois boules à la fin. Si je détruis à chaque étape la boule #2n, il en restera une infinité. Pourtant l'ajout sera le même à chaque étape.
L'expérience de pensée donnant lieu au paradoxe de Ross est un bon exemple de supertâche qu'il y a de nombreuses raisons de juger impossible : il suppose une vitesse sans limite, un espace sans limite, une mobilisation de matière sans limite, etc. Néanmoins, il y a une chose que cette expérience ne contredit pas, et il s'agit du principe de connexion de Dolev. En effet, s'il y a paradoxe, c'est précisément parce que la logique de la situation semble nous indiquer le résultat produit par l'opération, qui s'en déduit si les hypothèses adéquates sont suppléées. Or, si la connexion est préservée, la continuité est bafouée de la manière la plus spectaculaire qui soit : une courbe tend à l'infini en un temps fini, et « complète » en quelque sorte cet infini – sans pourtant que l'infinité elle-même soit jamais atteinte – et juste à l'instant où il est achevé, le résultat se révèle nul. Le paradoxe confirme donc nettement la pertinence d'une distinction entre le principe de connexion et le principe de continuité.
Il y a beaucoup à dire sur le paradoxe de Ross. On peut noter que, de même que Dolev donnait dans sa définition des supertâches une version dynamique de l'itérativité logique zénonienne, il est possible de reformuler la Dichotomie comme une version logique du problème dynamique de Ross. Supposons qu'à l'étape 0, au point de départ, on envisage les 10 premières étapes zénoniennes à parcourir, dont la première est le départ lui-même. À l'étape 1, l'arrivée à la moitié du parcours, on envisage les 10 étapes suivantes, numérotées de 10 à 19. À l'étape 2, les étapes 20 à 29 sont envisagées et ainsi de suite. Le nombre d'étapes envisagées comme restant à parcourir est infiniment croissant, puis il « chute » de façon discontinue à 0 au point limite.
Mais surtout, en tant qu'exemple extrême, le paradoxe nous permet d'illustrer de façon saisissante la nécessité de situer le débat sur le terrain des intuitions temporelles. En effet, les possibilistes les plus conséquents nous ont expliqué que nous devions reconnaitre que la situation de Ross n'était pas contradictoire et devait être admise comme possible, en admettant du même coup la discontinuité soudaine de la fonction numérique. Nous prenons sur ce point à témoin Earman et Norton6, auteurs d'une synthèse remarquable sur le sujet et méritant toute notre admiration, qui avec celle d'Allis et Koetsier7 offre la plus soigneuse analyse des arguments d'impossibilité que nous connaissions, dans un cadre pourtant opposé au notre et absolument indifférent au problème du passage et de l'achevabilité.
Il y a de fait quelque chose de fascinant à voir des auteurs par ailleurs parfaitement sensés et rigoureux admettre la faisabilité – conceptuelle – d'un processus tel que celui de Ross. Cela nous semble prouver à quel point l'intuition temporelle est cruciale, en ce sens que sans elle n'importe quelle absurdité devient conceptuellement possible, même une croissance physique sans borne réduite à 0 par son processus même de croissance sans pourtant jamais décroître. Du point de vue d'un penseur du mouvement, qu'il soit de tradition pragmatiste, métaphysique ou transcendantale, cette absence d'égards pour la réalité du mouvement est aveuglante. Ou plus précisément, cette absence d'égards pour une considération du mouvement au-delà de ce dont est capable une modélisation mathématique. À la limite, comme nous l'avons déjà dit, toutes les ingénieuses constructions d'opérations de supertâches et leurs commentaires infinitistes apparaissent comme d'étranges variations sur la détermination des valeurs limites de fonctions impliquant des ordinaux transfinis, et pas comme des expériences sur ce dont le temps est capable.
Néanmoins, si sur ces points nous suivons Dolev et souhaitons poursuivre ses analyses, il nous paraît que son principe de continuité ne peut pas constituer le dernier mot quant au problème des supertâches. Au contraire, la discontinuité elle-même doit nous apparaître comme un symptôme, une méthode de monstration d'un problème plus général et plus profond qui est celui de l'être achevé de l'inachevable.
Nous avons tenté de rendre sensible à ce point déjà dans notre présentation du paradoxe de Ross. La discontinuité y est sans contexte choquante, mais si elle est si choquante c'est, à notre sens, parce qu'elle exhibe spectaculairement l'impossible et soudain être achevé d'une croissance infinie qui ne saurait jamais s'achever, et notamment qui n'atteint jamais d'état final. Dans le paradoxe de Ross toute quantité finie a été effectivement dépassée, et pourtant on obtient un résultat nul dans la supposition de l'être achevé, et la discontinuité infinie est la conséquence du fait que le résultat n'est jamais en fait obtenu dans le processus qui, comme processus, ne fait que croître.
Nous ne voulons pas nier l'importance du principe de continuité pour notre appréhension du temporel. Mais nous ne sommes pas convaincu qu'il soit absolument indispensable. Il ne nous paraît pas absolument inconcevable, par exemple, qu'un objet macroscopique temporel subisse un changement discontinu de position, une téléportation parfaitement instantanée. Ou plus exactement, cela ne nous paraît pas nécessairement remettre en cause son statut d'objet temporel possible. En revanche, la notion même de temporalité nous paraît interdire le « passer outre » d'un inachevable.
Supposons que nous admettions vivre dans un monde où les lois physiques prédisent de soudaines discontinuités de position pour les objets macroscopiques ; et supposons d'autre part que nous acceptions l'idée de Dolev que la sommation de Cesàro nous donnerait le résultat naturel, au sens du principe de connexion, d'une série infinie non-convergente. Nous croyons que, même alors, nous aurions des motifs pour refuser la possibilité de la lampe de Thomson. En effet, même si notre science prédisait que certains états physiques donnent lieu à un changement discontinu de position, cela ne changerait rien au fait que, lampe allumée, éteinte ou à demi allumée, elle ne serait jamais passée à cet état, c'est-à-dire qu'elle n'y serait arrivée depuis aucun état, discontinuité ou non. Suivant l'alternance des allumages et extinctions, nous demeurerions confondus devant le fait que la lampe se « retrouve » en sa position limite sans jamais y être allée, fût-ce de façon discontinue, c'est-à-dire en fait sans jamais que l'alternance des allumages et extinctions ait pu prendre fin.
Il y a plus : le principe de continuité temporelle, en réalité, est incapable de pleinement rendre compte du problème des supertâches, et de la gêne que nous ressentons à leur endroit. Pour la raison simple – que nous empruntons de nouveau à Earman et Norton8 – qu'il y a des supertâches en bonne et due forme, au sens de Dolev9, qui ne produisent pas de discontinuité. La plus simple et la plus connue est probablement la balle infiniment rebondissante.
Qu'une balle parfaitement élastique rebondisse sur une surface parfaitement dure, d'une façon telle qu'à chaque rebond sa vitesse soit réduite à une fraction k – supposons k = 1/2 – de la vitesse qu'elle avait immédiatement avant l'impact, et que chacun de ces rebonds soit instantané. D'après les données du problème, la balle ne peut pas cesser de rebondir après un nombre seulement fini de rebonds, mais va infiniment rebondir.
Dans la mécanique classique, le temps compris entre deux rebonds est directement proportionnel à la vitesse initiale de la balle. En sorte que si l'on suppose que le temps compris entre le premier et le second rebond égale une unité de temps, les temps compris entre les rebonds successifs forment la série géométrique 1, k, k², k³,… dont la somme = 1/(1 − k) est finie, et égale à 2 selon notre supposition. En sorte que la balle accomplit un nombre infini de rebonds en un temps fini.
Une supertâche continue et connectée — sans discontinuité — et pourtant tout aussi énigmatique.
Les principes de connexion et de continuité, tout autant que les prédictions mathématiques, nous suggèrent que la balle « à l'issue » de la série infinie doit se trouver à l'arrêt au contact de la surface sur laquelle elle rebondissait. Cet arrêt constitue bien clairement la limite de ses positions antécédentes, en même temps que le rebond constitue bien un état du système obtenu une infinité de fois dynamiquement distinctes. La balle rebondissante est donc bien une supertâche continue. De plus elle est prédite par un certain cadre physique, celui de la mécanique classique. Comme le disent Earman et Norton, « il n'y a aucun sens évident d'après lequel la balle rebondissante est paradoxale, sauf si l'on est choqué par la simple idée qu'elle accomplisse un nombre infini de rebonds en un temps fini10. »
En renversant leur formulation, nous dirions que l'on est incapable de comprendre le caractère paradoxal de la balle rebondissante, et avec elle des supertâches en général, si l'on ignore l'intuition selon laquelle un processus ne s'achevant pas ne saurait se trouver achevé dans le temps. Supposons que l'on enregistre la balle et que l'on diffuse à l'envers cet enregistrement : durant la diffusion la balle ne commencera jamais à rebondir, et en tout temps postérieur à l'instant limite - antérieur dans l'ordre réel – elle aura « déjà » – toujours-déjà – accompli une infinité de rebonds. C'est cette transition impossible qui choque l'intuition du temps.
Quoique la continuité au sens ordinaire ne soit pas enfreinte par la balle rebondissante, et quoique pour la même raison la connexion y soit respectée, pouvons-nous nous empêcher de ressentir une discontinuité et une déconnexion entre la série et son état limite ? C'est que l'absence de connexion et l'absence de continuité y sont plus générales que ce qu'indiquent les définitions données par Yuval Dolev. L'état limite ne nous parait pas le résultat de la série, même si nous avons un calcul prédisant ce résultat, parce que, la série ne s'achevant pas, rien ne peut en résulter au sens ordinaire du passage d'une chose à son résultat. Et l'état limite nous parait en discontinuité avec la série, même si la position limite est limite des positions antécédentes, parce qu'il n'y a pas de transition ou de passage concevable entre une série jamais achevable et l'instant de son être achevé.
Pour reprendre l'expression de Dolev, même dans un cas de continuité, si nous admettons la pleine réalité de la série infinie discrète nous ne « parvenons pas à suivre » le système quand il doit atteindre son état limite. Ou, de manière peut-être encore plus saisissante, en inversant l'ordre, nous ne parvenons pas à suivre le modèle au-delà de l'instant limite antécédent, quand il plonge soudain dans une « infinité jamais commençante ». Cette incapacité à suivre le système n'est pas le simple indice d'un manque d'imagination, et nous n'arrivons pas à suivre le mobile en un sens différent de celui selon lequel nous n'arrivons pas à suivre un mouvement trop complexe, trop discontinu, ou ayant un nombre trop grand d'étapes : car nous ne pourrions pas non plus le suivre si nos capacités imaginatives étaient aussi grandes et complexes que désiré. Nous ne pouvons pas concevoir que nous pourrions le suivre.
Examinons-donc, pour finir, ce que la littérature des supertâches peut nous dire du passage du faire à l'être-fait, de l'inachevable à l'être achevé, puisque c'est cela qui apparaît comme le cœur de la question.