À l'occasion d'un recueil de textes sur l'aporie zénonienne contenant l'article de Paul Benacerraf, J. F. Thomson entreprend en 1970 d'en rédiger une réponse1. Reconnaissant la force des réfutations de l'article de 1962, Thomson prend en quelque sorte acte de la clôture de cette première époque des supertâches, et tend désormais à penser qu'il est improbable que soit trouvé à l'avenir un argument simple et décisif qui établisse que la notion d'une « tâche ω achevée » est contradictoire, comme Max Black, et lui-même, l'avaient recherché.
Pour autant, le jugement de Paul Benacerraf sur notre incapacité à conclure à l'impossibilité ou la possibilité logique des supertâches lui semble à tout le moins trop rapide. C'est-à-dire que le problème ne lui semble plus devoir être considéré d'une manière globale, mais il juge qu'il convient d'opérer des distinctions afin d'observer de façon fine quelles hypothèses semblent ou non nécessaires pour envisager différentiellement la concevabilité de telle ou telle tâche infinie, embrassant ainsi l'approche inférentielle et pluraliste que nous défendons ici à notre tour. Thomson n'abandonne pas l'idée que, concernant les supertâches, des difficultés conceptuelles multiples se présentent, qui ne soient pas réductibles à un manque d'imagination.
À l'inverse, Thomson croit apercevoir une thèse générale implicitement soutenue par les premiers possibilistes que sont Watling ou Taylor, et qu'il baptise du nom de « thèse infinitiste ». Celle-ci énonce :
Une suite ω de tâches peut être complétée si et seulement si chacun de ses segments initiaux finis peut l'être2.
C'est-à-dire, par exemple, que s'il est conceptuellement possible qu'une lampe, entre un instant t et un instant postérieur t', se soit allumée et éteinte successivement un million de fois, ou un milliard, ou 10googleplex, ou un nombre entier quelconque de fois, alors il est aussi conceptuellement possible qu'elle se soit allumée et éteinte une infinité sérielle de fois entre t et t'.
Autrement dit, la « thèse infinitiste » prétend pouvoir passer, pour tout processus, du « syncatégorématique » au « catégorématique ». De la possibilité d'aller plus loin que toute opération finie donnée, à la possibilité d'accomplissement d'une certaine opération donnée plus grande que toute opération finie.
Pour rappel, la distinction entre catégorématique et syncatégorématique, héritée de la scolastique européenne, est la distinction entre ce qui renvoie à une chose ou à une propriété déterminée d'une chose – le catégorématique – et ce qui ne peut pas être considéré comme renvoyant directement à une chose du monde ou à une propriété d'une chose – le syncatégorématique – mais dont le sens doit renvoyer à une paraphrase impliquant des catégorèmes. Si je dis, par exemple, « rien ne va aujourd'hui », le terme « rien » ne renvoie pas à une chose ou une propriété réelle d'une chose. « Rien » est peu ou prou toujours employé syncatégorématiquement, car par nature il ne peut pas désigner quelque chose, et par suite il ne peut être interprété que via une paraphrase qui engage des propriétés à propos d'entités différentes (« pour chacune des choses qui constitue ma journée, il est vrai de cette chose qu'elle ne se déroule pas comme prévu », etc.).
Ces distinctions, dans la scolastique européenne et en particulier chez Grégoire de Rimini que nous suivons ici, étaient investies dans la question de l'infini. Si nous parlons catégorématiquement, en effet, nous dirons qu'une chose est finie si nous pouvons affirmer la finitude comme une propriété effective de cette chose – par exemple, en disant qu'elle a une grandeur finie –, et nous dirons catégorématiquement que des choses sont (collectivement) finies quand elles forment effectivement une totalité au nombre fini déterminé. Nous dirons qu'une chose est catégorématiquement infinie quand nous pouvons, pareillement, affirmer l'infinité comme une propriété effective de cette chose (« l'univers présent a une grandeur infinie »), et que des choses sont catégorématiquement (collectivement) infinies quand elles forment une totalité effective plus grande que toute collection finie donnée. Tout le débat philosophique consistant alors à demander si cela peut effectivement avoir un sens de parler ainsi catégorématiquement de l'infini, si ces formes ont jamais un emploi légitime.
Si nous parlons, en revanche, syncatégorématiquement, nous dirons que des choses sont infinies, non pas pour affirmer une propriété de la totalité (ou grandeur) de ces choses, mais pour indiquer une propriété plus complexe, qui se réfère à d'autres choses, d'autres multiplicités ou grandeurs. Par exemple, en disant que les jours sont infinis, non pour dire que leur totalité (qui n'existe pas) est telle, mais que toute totalité finie de jours est amenée à être dépassée par une totalité future plus grande. Affirmer leur infinité en ce sens revient en fait strictement à nier qu'ils puissent avoir une limite, une fin déterminée et pour de bon, un terme assignable, et à affirmer au contraire que pour tout terme (fini) qu'on pourrait leur assigner, ils se poursuivent au-delà de ce terme ; sans affirmer, pour autant, l'existence d'une totalité ou d'une globalité portant elle-même la propriété d'infinité. En somme, on dira que des choses sont infinies, parlant syncatégorématiquement, quand pour tout nombre fini donné de ces choses (ou toute grandeur finie donnée), on peut trouver un nombre supérieur de ces choses (ou une grandeur supérieure).
Dans le langage de la logique moderne, il est possible d'exprimer cette différence d'emploi au moyen de l'inversion de l'ordre des quantificateurs. En effet, si nous définissons l'infini, en première approximation, comme ce qui est plus grand que tout être fini, alors dire sur le mode catégorématique qu'existe un infini revient à dire que « il existe un certain être qui est plus grand que tous les êtres finis », soit, ∃x∀y, fini(y) → x > y. Affirmer, en revanche, syncatégorématiquement, l'infinité d'une multiplicité ou d'un domaine de grandeur, consiste à énoncer que « pour toute chose finie, il y a au moins un être plus grand que cette chose », soit, ∀y∃x, fini(y) → x > y.
Dans le premier cas, le quantificateur existentiel vient avant l'universel, affirmant l'existence d'une chose qui a pour propriété de dominer universellement ce qui relève du fini, et qui est donc un infini. Dans le second cas, le quantificateur universel vient avant l'existentiel, en sorte qu'aucun être singulier n'est désigné, mais que l'on décrit une situation où une propriété universelle est énoncée de tous les êtres finis – à savoir qu'ils ont, chacun (qu'il existe pour chacun), un majorant, un être qui les dépasse. On comprend aisément que, compris ainsi, le catégorématique implique le syncatégorématique, mais que la réciproque est fausse. Car l'infini joue à lui tout seul le rôle du majorant pour tous les éléments finis, alors qu'à l'inverse chaque élément fini peut avoir un majorant sans qu'il existe une chose qui les majore tous. Pour prendre l'exemple des nombres entiers, aucun n'est plus grand que tous les autres, mais pour chacun d'eux, il y en a qui sont plus grands.
Déjà dans son premier article de 1954, Thomson avait voulu indiquer les dangers qu'il y a à confondre le catégorématique avec le syncatégorématique – sans que lui-même emploie jamais ce vocabulaire traditionnel. Et il notait à raison que l'intelligibilité du concept de l'être achevé d'un nombre (catégorématiquement) infini de tâches n'était pas du tout impliquée par le fait de comprendre, par exemple, une divisibilité (syncatégorématiquement) infinie. Qu'un morceau de chocolat soit (en vertu d'un argument itératif) divisible à l'infini, cela signifie en quelque sorte que l'on a une infinité de choix différents en ce qui concerne le nombre de morceaux en lequel le couper. Mais cela ne veut pas pour autant dire qu'on peut le couper en un nombre infini de morceaux3.
Pourtant, Thomson percevait, non sans une certaine plausibilité, que quelque chose comme la thèse infinitiste était implicitement à l'œuvre dans les argumentaires possibilistes, comme une équivalence entre le syncatégorématique et le catégorématique. Il évoquait le passage suivant de Bertrand Russell4 :
Mademoiselle Ambrose dit qu'il est logiquement impossible de parcourir entièrement l'expansion décimale de π. J'aurais plutôt dit que cela est médicalement impossible. (…) L'opinion selon laquelle l'expression « après un nombre infini d'opérations » se contredit ne semble point correcte. Ne se peut-il que les capacités d'un certain homme augmentent si vite qu'il accomplisse chacune des opérations en moitié moins de temps qu'il ne lui fallait pour accomplir la précédente ? En un tel cas, la série infinie tout entière ne demanderait que deux fois plus de temps que la première opération.
Thomson note à raison que la suggestion médicale proposée n'aide en rien, et que Russell ici semble ne même pas percevoir le problème qui est en jeu. Car, ou bien il croit que le fait indéniable qu'à chaque étape n l'amélioration médicale n+1 est logiquement concevable, doive ipso facto nous convaincre que l'infinité des améliorations médicales peut être entièrement accomplie – auquel cas il suppose à tort que le syncatégorématique implique le catégorématique – ou bien il ne fait que redoubler le problème, car la série infinie des améliorations requises est exactement aussi mystérieuse que la série infinie des achèvements proposée au départ. Comme dit Thomson :
Si ''il a subi un nombre infini d'améliorations'' ne nous pose pas problème, il est peu probable que nous soyons troublés par ''Il a accompli un nombre infini de tâches''5.
Il remarque en outre que l'on voit constamment les partisans des opérations infinies achevées accuser leurs opposants d'une confusion entre le logique et le physique. Or, si s'affranchir des limites physiques peut nous convaincre de la possibilité conceptuelle d'atteindre n'importe quel accomplissement fini, il n'en va pas de même pour un accomplissement infini. Abolir les limites de la contingence physique nous donne le syncatégorématique, mais il n'est pas clair que cela nous donne le catégorématique ! Si les possibilistes le croient, soupçonne Thomson, c'est qu'ils croient que les deux sont équivalents.
Il est vrai pourtant que la thèse infinitiste n'est pas entièrement dénuée de plausibilité, si on la comprend comme le passage des segments initiaux à la totalité. Car, si je peux envisager, à l'infini, l'accomplissement de n'importe quelle part initiale finie d'un tout infini, je me sais capable, à priori, d'en accomplir chacun des éléments. L'ensemble des parties que je peux accomplir recouvre en effet le tout. Ne suis-je pas garanti du même coup de pouvoir en envisager l'accomplissement intégral, entier ?
En général, il est vrai, il n'est pas légitime de passer de la possibilité pour chacun des éléments à une possibilité pour le tout : car il se pourrait que l'accomplissement pour un de ces éléments proscrive l'accomplissement pour les autres (je peux tirer sur n'importe quel pigeon perché, mais si je tire sur un d'entre eux, les autres s'envoleront, et je ne peux tirer sur tous). Mais ce cas de figure ne se présente justement pas pour des parties initiales d'un tout successif bien ordonné. Je sais en effet que la réalisation de n'importe quel segment initial ne peut proscrire la réalisation de ce qui suit ce segment : celle-ci présuppose de fait au contraire celle-là.
Saisissons-nous précisément de cette dernière remarque : dans un tout successif ordonné infini, les segments initiaux sont conditions successives les uns des autres. Si je peux accomplir n'importe lequel de ces segments initiaux, si je ne suis pas syncatégorématiquement limité – c'est-à-dire limité dans ma poursuite – je peux concevoir l'accomplissement intégral en faisant se succéder des accomplissements finis, précisément en vertu de cette relation d'ordre et de la garantie que la succession recouvre le tout. Autrement dit, il y a bien une plausibilité à la thèse infinitiste ; mais à la condition que l'on en élimine la dimension d'achevabilité, ou, autrement dit, que l'on préserve la possibilité d'une interprétation syncatégorématique. Je peux envisager l'accomplissement du tout, précisément parce que je peux envisager la succession des accomplissements partiels de ce tout, qui laissent le tout sans reste.
Mais, ce faisant, j'envisage l'accomplissement du tout comme l'horizon, garanti à priori, d'une poursuite idéale indéfini. Cela ne me permet pas pour autant de passer du syncatégorématique au catégorématique. C'est-à-dire que je ne peux pour autant en conclure que, puisque je peux accomplir n'importe laquelle des tâches finies, il y a aussi une tâche infinie les englobant toutes et située au même niveau qu'elles. Le passage des parties au tout n'implique pas le passage du syncatégorématique au catégorématique, car il n'implique pas l'achèvement ! La thèse infinitiste, en somme, est ambiguë : de l'accomplissabilité de chaque segment fini initial, conclut-elle à l'accomplissement intégral de la suite infinie comme horizon donné à priori – anticipable en principe – ou comme une chose qui puisse se trouver avoir été achevée, une tâche parmi les tâches ?
Comprise dans le second sens, la « thèse infinitiste » de Thomson apparaît comme un cas limite dans le spectre des approches de la succession infinie, une version maximaliste de ce que nous nommons la position « possibiliste », qui ne considérerait pas seulement qu'une tâche infinie est possible, mais que toute tâche à la réalisation possible syncatégorématiquement infinie est aussi possible comme catégorématiquement infinie. On peut considérer que la littérature spécialisée sur les supertâches après Thomson a pour l'essentiel navigué dans l'espace ouvert par le possibilisme, cherchant souvent à pousser les limites du conceptualisable aussi près de l'idéal infinitiste que les acteurs du débat en étaient capables. À l'extrême opposé, la position non pas « finitiste » – car elle ne déclare pas forcément que le concevable se cantonne au fini – mais « impossibiliste », exclut en général la possibilité de l'achèvement d'une tâche infinie.
Dans cet espace entre deux extrêmes, Thomson va produire deux nouvelles expériences de pensée6 pour illustrer le problème que poserait le fait de traiter les supertâches en bloc.
Dans la première des situations, on découpe un morceau de fromage « à la manière de Zénon », en morceaux toujours proportionnellement plus petits (on coupe le tout en deux, puis la seconde des moitiés en deux, puis le quatrième quart en deux, et ainsi de suite). Il semble que je puisse – conceptuellement parlant, et en supposant en toute irréalité que le fromage est un homéomère – accomplir chacun des segments initiaux d'une telle série zénonienne infinie dont chacun des membres est une coupe de fromage. La thèse infinitiste en conclut donc que je peux avoir accompli la série zénonienne entière. Notons « D » une telle supertâche. Si je suppose D entièrement accomplie, dit Thomson, qu'obtiens-je ? Manifestement, une série infinie de morceaux de fromage, de plus en plus petits, et dont aucun n'est le plus petit. La situation, nous dit-il, peut demeurer conceptuellement énigmatique, mais elle ne pose apparemment pas les problèmes que pose la lampe Thomsonienne – nous y reviendrons.
D : la coupe zénonienne — chaque part restante est de nouveau coupée en deux, à l'infini, sans jamais atteindre le bord.
Dans la seconde situation, on coupe de nouveau un morceau de fromage en deux, mais désormais à l'étape suivante l'on découpe par la moitié chacun des morceaux qu'on a ainsi obtenus, et ainsi de suite – d'après une version déjà donnée dans l'Antiquité d'une aporie zénonienne. Nommons « M » la supertâche consistant à accomplir entièrement la série zénonienne de ces nouvelles découpes. Si l'on a précédemment admis que chacun des segments initiaux de la série zénonienne constitutive de D pouvait être accompli, il semble difficile de refuser que chaque segment initial de cette nouvelle série puisse aussi l'être. Car chacune des coupes constitutives de M est du même ordre qu'une des coupes constitutives de D.
M : chaque morceau obtenu est à son tour coupé — un ordre « dense » où, entre deux traits, il y en a toujours d'autres.
Mais alors, en vertu de la thèse infinitiste, M pourrait être entièrement accomplie. Or, si le type d'ordre des coupes constitutives de D est le même que celui de M (il s'agit de l'ordre ω : une étape à la fois à l'infini), le type d'ordre du résultat de M est très différent : il est ce que l'on appelle « dense » : entre deux coupes, aussi proches soient-elles, toujours d'autres coupes ont été effectuées. Il semble du moins intuitif de dire que nous ne savons pas ce qui résulte de l'accomplissement de M. Cela, en un sens encore différent du sens où on ne sait pas ce qui résulte de D. Car de D, clairement, résultent des morceaux de fromage – dont aucun n'est le plus petit – mais on ne peut pas en dire autant de M. Thomson ne veut pas aller jusqu'à conclure qu'il s'agit d'une réfutation de la thèse infinitiste, mais juge qu'on doit reconnaître qu'il y a des degrés de difficulté.
Notons bien que la difficulté soulevée ici à l'égard de la thèse infinitiste, et la différence de nature entre D et M, ne se pose que lorsque l'on interprète cette thèse sur le mode de l'achevabilité de l'infini, ou de la conversion du syncatégorématique en catégorématique. Du point de vue syncatégorématique, les deux tâches sont bien du même ordre, et toutes deux peuvent avec une égale aisance (en supposant que la matière est homéomère) être envisagée dans leur accomplissement intégral, sous un horizon infini. Le problème surgit quand on veut que cet accomplissement ait un résultat, c'est-à-dire quand on veut faire passer l'accomplissement sur le plan de l'être achevé, que l'on veut transformer l'horizon en tâche.
Cet enjeu du passage du syncatégorématique au catégorématique, de l'horizon à l'être achevé, a été plus récemment illustré et mis en valeur par un article de Jeremy Gwiazda7 – sur les thèses générales duquel nous reviendrons dans la section suivante.
Pour envisager le problème du passage à l'être achevé, Gwiazda élabore une variante économique du paradoxe de Ross, relevant de la théorie des jeux. Dans l'expérience de Gwiazda, au lieu d'ajouter à chaque étape un certain nombre de balles puis d'en enlever une, on propose à un agent dit « rationnel » l'alternative suivante : ou bien acquérir un dollar, à chaque étape n, ou bien en acquérir successivement 2n, mais en contrepartie rendre à chaque étape le premier acquis de ceux que l'on détient encore. Si le premier choix garantit naturellement l'acquisition d'une somme infinie, le deuxième, par le raisonnement de Ross déjà exposé, résulte en ce que l'agent se retrouve « à la fin » de la série infinie avec un total de 0 dollars – puisque, de nouveau, chaque dollar n qui a été acquis a aussi été rendu à l'étape n. Pourtant, à chaque étape du processus le deuxième choix rapportait davantage, et constituait l'option « rationnelle » dans les termes de la théorie des jeux. Celle ou celui qui a constamment cherché rationnellement son profit, et n'avait à l'infini jamais à se repentir, se « retrouve » fort déconfit « à l'issue de l'infini », se demandant quand les choses ont bien pu mal tourner, car à aucun instant l'agent n'a pu avoir l'occasion de changer de stratégie, puisque la sienne était profitable « jusqu'au dernier ».
Mais Gwiazda remarque justement que cet étrange paradoxe économique de l'infini ne tient qu'à la condition de supposer qu'il est possible d'achever effectivement cette tâche infinie, ou de la trouver avoir été achevée. Or, si au contraire l'on se contente de considérer la tâche infinie dans son entièreté sans supposer que la tâche puisse se trouver achevée dans le temps, il demeure possible de considérer la valeur économique à tirer de l'entièreté de la tâche, mais comme une valeur variante, croissante, et menée à l'infini. Alors, et c'est là le point crucial, l'évaluation change du tout au tout ! Alors, s'il est vrai que les deux processus croissent à l'infini, le second reste d'une croissance supérieure, et garantit toujours un profit plus important. Il peut et doit être considéré comme supérieur même à l'infini.
Ne pas supposer que la série puisse être effectivement achevée ne nous force d'ailleurs pas à renoncer à la détermination mathématique, mais à chercher une modélisation mathématique qui respecte ce caractère inachevable lui-même. Alors que Dolev, prenant le parti de l'achevabilité, nous orientait vers les sommes de Cesàro, Gwiazda suggère quant à lui que nous traitions de telles suites croissantes infinies, afin de les comparer, comme des hyperréels.
Les hyperréels sont l'objet de constructions mathématiques qui étendent notre appréhension des nombres, pour ajouter aux réels ordinaires (les nombres représentant des grandeurs) des nombres infiniment grands, des réels infiniment petits, ou « infinitésimaux », et en général des nombres infiniment proches d'un réel donné, mais néanmoins distincts de lui. Le secret conceptuel de la grandeur infiniment petite, infiniment grande, ou infiniment proche d'une grandeur finie, qui semble avoir tant tourmenté la philosophie et les mathématiques modernes, n'est vraiment pas si mystérieux : il suffit de considérer ces grandeurs comme la valeur quantitative d'un processus indéfini. C'est ce que manifestent les hyperréels, en considérant comme grandeurs des suites infinies de réels. Les réels ordinaires sont récupérés, en étant tout simplement identifiés à des suites constantes – des processus statiques, pour ainsi dire – par exemple 2 est récupéré sous la forme de la suite (2, 2, 2, 2, …). Les « infiniment grands » sont des suites tendant vers l'infini, les « infiniment petits » des suites convergeant vers 0, et les grandeurs infiniment proches d'un réel sont celles qui tendent vers lui.
Le tout forme un « corps ordonné non-archimédien », et la difficulté technique, mathématique, est de garantir la cohérence de cette relation d'ordre qui permet de comparer ces grandeurs entre elles8. Mais en ignorant ici cette difficulté et cette technique, il nous suffit de savoir que dans toute construction des hyperréels, les propriétés intuitives, qui correspondent à nos intuitions sur le progrès de grandeurs variants à l'infini, sont toujours préservées : par exemple, deux suites qui ne diffèrent que pour un nombre initial fini de leurs termes, puis sont infiniment identiques, sont considérées comme égales – c'est-à-dire sont le même nombre hyperréel ; si, à partir d'un certain rang, chaque terme d'une suite est plus grand que le terme de rang correspondant d'une autre suite, alors la première est plus grande que la seconde, et ainsi de suite9.
Revenons alors à l'expérience économique de Gwiazda. Il apparaît maintenant que le second choix, celui de choisir la suite qui croît le plus vite, est le meilleur choix, même à l'infini, même en considérant « toute la suite », en accord avec le bon sens : parce que ce second choix est représenté par un hyperréel plus grand.
Il y a certainement une leçon plus générale à tirer de cette remarque : que l'on peut être amené à traiter de façon très différente les quantités infinies, sans cesser de les reconnaître comme telles, si on les considère comme résultat d'un développement sans se supposer placé toujours déjà au-delà de ce développement. Le sentiment spontané selon lequel il y a davantage d'entiers que de nombres pairs ne tient-elle pas sa validité et son sens du fait que pour tout segment effectivement saisissable dans la progression successive des entiers, il y a nécessairement davantage – et, de fait, deux fois plus – d'entiers que de pairs ? Sans bien sûr que cela change quoi que ce soit à la possibilité de construire – progressivement – une bijection entre ces deux multiplicités, et qu'elles sont donc, selon les définitions cantoriennes, égales. De façon différente, mais analogue, quand nous considérons les rationnels comme une multiplicité incluant les entiers, nous les pensons généralement comme occupant, de façon dense, la « ligne des réels » : notre sentiment spontané selon lequel ils sont évidemment plus nombreux que les entiers, et infiniment plus nombreux qu'eux, dit le fait que pour tout segment de la ligne effectivement saisissable comme un (et donc fini si on ne suppose pas qu'on ait achevé en effet cette ligne), les entiers saisissables sont toujours en nombre fini, alors que les rationnels sont toujours inépuisables, où que l'on regarde.
Mais n'allons pas plus loin, de peur qu'on nous soupçonne de « finitisme », ce qui n'est pas ici notre propos. Nous ne voulons pas priver les nombres de toute considération sous le regard de l'éternité et de l'(in)égalité des infinis. Nous voulons seulement priver de ce regard ce qui prétend relever du temporel.
En ce qui le concerne, tels sont nos deux extrêmes : la thèse infinitiste énonce que tout horizon peut – conceptuellement – se présenter comme un être achevé, la thèse impossibiliste qu'aucun ne le peut, que rien de ce qui ne peut avoir un achèvement présent ne saurait avoir été achevé.