Que devient donc la lampe de Thomson, examinée dans ce nouveau contexte logiquement éclairci et réorienté ? Quel est le principe temporel qu'elle enfreint ?
En dépit de la réfutation de Benacerraf, le créateur originel de cette expérience de pensée est en mesure de nous montrer, la réenvisageant, qu'une difficulté demeure en elle. Car nous pouvons reformuler le problème en termes de ce que J. F. Thomson va appeler, dans son second article de 1970, des « transitions1 » – et non plus en termes d'actes d'extinctions et d'allumage.
On dira qu'une « transition » a lieu à un instant donné, quand cet instant est le premier dans lequel un système physique est dans un certain état, c'est-à-dire qu'il est un « instant de transition », un instant qui inaugure la possession d'un nouvel état.
Techniquement parlant, dans le contexte d'un système physique S qui passe d'un état A à un état B et vice versa, tel qu'il y a toujours un premier instant dans lequel le système est « passé » à l'état A ou B dans lequel il se trouve, on dit qu'une transition a lieu à l'instant t si S est dans l'état X à t et qu'il n'existe pas d'instant t' strictement antérieur à t tel que S est X en tout temps t'' postérieur à t' et antérieur à t.
Considérons maintenant de nouveau l'expérience de pensée de la lampe, et ajoutons le réquisit selon lequel la lampe continue bel et bien d'exister après la suite ω des allumages et extinctions, et qu'elle ne peut se trouver alors que dans deux états, à savoir allumée ou éteinte. Cela implique qu'à l'instant t limite, l'instant immédiatement postérieur à la suite infini, une transition a lieu : l'instant limite inaugure une période où la lampe est dans l'état qu'elle est.
Cette transition qui a lieu à t, néanmoins, n'a pas lieu depuis un état différent déterminé : si la lampe est allumée à t on ne peut pas dire pour autant qu'elle se soit allumée au sens où elle serait passé d'éteinte à allumée. D'une manière générale, on ne peut pas dire que la lampe passe à un état X à t sans contrarier ce que nous pouvons appeler notre grammaire naturelle du passage, c'est-à-dire justement les conditions supposées implicitement inférables du fait de parler de passage.
Nous sommes plus précisément conduits à un dilemme, à savoir que nous devons affirmer au moins une des deux propositions suivantes, qui toutes deux semblent contrarier nos intuitions : ou bien l'on dit qu'il est possible de passer à un état donné, ou de changer d'état, sans y passer ou en changer depuis un certain autre état donné ; ou bien l'on dit qu'un système peut opérer une transition (au sens ici défini) vers un état, sans pour autant passer à cet état ni changer d'état. Comme le dit Thomson, aucune de ces deux conclusions n'exhibe une contradiction analytique manifeste, mais les deux contredisent quelque chose qu'il est au moins naturel de supposer, c'est-à-dire contreviennent à nos inférences ou notre grammaire.
Thomson, néanmoins ne pense pas que ce problème soit nécessairement « dramatique2 », et cela pour deux raisons : la première est que, même si ce que nous appelons un·e « possibiliste » acceptait de se conformer à la grammaire naturelle du « changement » ou du « passage », et acceptait donc le fait qu'on ne peut dire à proprement parler que l'on « change » d'état s'il n'y a pas un état à partir duquel on en change, on ne la convaincrait pas du fait qu'une transition doit nécessairement être un passage ou un changement au sens substantiel de ces termes. Car, si elle en était convaincue, elle serait déjà impossibiliste.
La seconde raison pour ne pas faire toute une affaire de la difficulté, suggère-t-il, c'est que nous n'avons pas de raison a priori de penser que ce problème de la transition ω se pose pour toute situation de tâche infinie, et il ne lui semble pas, par exemple, qu'elle se pose pour la tâche D définie dans la section précédente, celle qui produisait successivement une infinité de morceaux de fromage plus petits les uns que les autres.
Cela est-il pourtant bien certain ?
Dans un article de 19843, en effet, Michael B. Burke revient sur ce nouvel argument de Thomson, pour montrer qu'il ne prouve pas nécessairement ce que suppose ce dernier. Sa thèse peut être ainsi résumée : les principes suggérés par Thomson dans son second article, qui rendraient impossible – ou du moins conceptuellement gênante – sa fameuse lampe et certains autres processus impliquant des tâches infinies, ces principes semblent bien pouvoir s'appliquer au mouvement tel qu'analysé par Zénon – autrement dit s'appliquer bien plus largement et généralement que Thomson ne le supposait. Il est intéressant de noter que cet article se présente explicitement comme une réfutation des arguments impossibilistes de Thomson. Mais l'on se rend rapidement compte à la lecture que cette déclaration est trompeuse, car Burke lui-même continue de trouver ces arguments vraisemblables, et la seule chose qu'il entreprend de montrer est qu'ils semblent entraîner avec eux l'impossibilité du mouvement ordinaire.
Considérant en effet ce qu'il nomme « l'axiome de Thomson », selon lequel « il ne peut y avoir de transition qui ne soit un passage », Burke remarque qu'il est possible, au moyen d'un peu d'ingéniosité, d'appliquer ce principe au mouvement zénonien. Prenons en effet comme « état A » la disjonction : « ou bien être dans une 'zone zénonienne impaire', ou bien avoir passé le point limite ». Et comme « état B » : « être dans une 'zone zénonienne paire' », où l'on nomme « zone zénonienne impaire » la première moitié, le septième huitième, le trente-et-unième trente-deuxième et ainsi de suite dans les découpages du parcours, et « zone zénonienne paire » le troisième quart, le quinzième seizième et ainsi de suite. Il est alors manifeste que, d'une part, au cours de la succession zénonienne le mobile passe alternativement d'un état A à un état B, et que, d'autre part, au point limite a lieu une transition, au sens de Thomson, vers un état A, qui n'est pourtant pas un véritable passage à A.
Il est bien sûr indifférent de faire plutôt de l'état B une disjonction, et de postuler qu'après le point limite le mobile est dans un état B. Ce choix indifférent correspond au choix arbitraire de poser la lampe comme allumée ou éteinte à l'issue du processus.
Ce que veut montrer Burke, ici, est que « l'axiome de Thomson » n'est pas clairement de soi capable de poser un critère de distinction entre la supertâche de la lampe et la course d'Achille. S'il doit y avoir un tel critère, il devra reposer sur la caractérisation de ce qui constitue légitimement un « état », et pas en tant que tel sur le rapport entre transition et passage.
Cette conclusion est, comme on le voit, à la fois fort intéressante et concordante avec notre propos. En effet, la paire de prémisses selon laquelle d'une part, toute transition d'états doit être pensée comme passage, et d'autre part, l'alternance des parties zénoniennes est susceptible de compter comme une succession d'états, qui conjointement donnent lieu à l'aporie zénonienne, sont apparentées à la fois du point de vue de la structure et du contenu à la paire que nous propositions, de la prémisse d'achevabilité, ou impossibiliste, et de la prémisse de compositionalité, ou incompatibiliste.
Avec le principe de passage, Burke semble en effet ramener l'ensemble des expériences de pensée de supertâches à ce qui selon nous aurait dû être constamment leur rôle : à savoir d'illustrer nos exigences « grammaticales » à l'égard de la processualité. Que nous ne tolérions pas une « transition » sans « passage », dans le vocabulaire de Thomson, ce semble être une assez bonne paraphrase du fait que nous ne tolérons pas un avoir eu lieu sans possibilité d'un avoir lieu. En retour, admettre l'alternance zénonienne comme alternance d'états, n'est bel et bien pas si éloigné de l'idée de considérer que tant l'étendue traversée que le parcours qui la traverse peuvent être considérés comme composés par ce en quoi nous sommes capables de les diviser.
Nous pouvons trouver une autre variante du même souci dans l'article plus récent de Jeremy Gwiazda4, dont l'intention est cette fois bien explicitement impossibiliste, et que nous avons déjà évoqué plus haut. Comme nous, Gwiazda soutient que le débat a perdu de vue son intention de départ qu'il faudrait restaurer, et que les supertâches sont rendues impossibles par un postulat élémentaire contre lequel, comme il le note, personne n'a jamais fourni d'argument non-circulaire.
Le postulat que l'auteur propose est plus spécifique que notre postulat d'achevabilité, et il se peut qu'il soit en un sens insuffisant. Mais, comme l'axiome de Thomson, il présente une variante du même souci de l'intuition du passage, et sa spécificité même permet en outre à son auteur de formuler certaines propriétés intéressantes.
Le principe de Gwiazda, que l'on pourrait également nommer « principe d'ordinalité », est bien une manière de parler de l'inachevabilité, et du fait que la tâche est supposée avoir été accomplie sans qu'elle ait pu effectivement s'accomplir dans le temps, mais d'en parler du point de vue de l'ordinalité. Légèrement reformulé – pour éviter de légitimes objections – il énonce la chose suivante :
Si nous travaillons à épuiser une série de tâches, et que nous procédons sur le mode du un par un, le seul moyen pour que ce nombre ait été réduit à 0 est que l'on soit parvenu à 0 à partir de 1.
Réciproquement, pourrions-nous ajouter, si nous procédons sur le mode du un par un, le seul moyen d'avoir commencé l'accomplissement d'une série de tâches est d'être passé de 0 tâches accomplies à 1 tâche accomplie.
Mais c'est bien cela qui est enfreint dans le cas des processus inachevables – ou respectivement inentamables – à la Zénon. Ces processus procèdent bien toujours sur le mode du un par un. Pourtant, supposés terminés, les premiers sont parvenus à 0 tâches restantes sans que jamais une tâche unique ait demeuré à accomplir, car en tout instant précédant l'instant limite il en restait encore une infinité. Supposés commencés, les seconds de même n'eurent jamais de première tâche qui les entame, car dans une supertâche dont le type d'ordre est celui des entiers négatifs, il n'y a jamais une unique tâche accomplie, mais toujours déjà une infinité.
Gwiazda envisage donc bien l'itération infinie d'une manière si proche de la nôtre qu'elle en est presque équivalente, mais il l'exprime sur le mode ordinal. L'inachevabilité itérative est décrite du point de vue d'une constance, à savoir la constance de l'ordinalité ω des tâches restant à accomplir. Il écrit :
J'offre l'image suivante en soutien de la prémisse 2 [i.e. le principe d'ordinalité] :
∞ → ∞ …3 → 2 → 1 → 0
Ce que l'image indique est que, lorsqu'il y a une infinité de tâches et qu'une tâche est accomplie, alors il reste une infinité de tâches (« ∞ → ∞ »). Le côté droit de l'image montre que, lorsqu'il reste, mettons, 2 tâches, et qu'une tâche est accomplie, alors il reste 1 tâche. Comment parvenons-nous à 0 tâches ? En partant d'1 tâche, et seulement en partant d'1 tâche. Il n'y a aucun autre moyen ; la prémisse 2 reflète ce raisonnement5.
Nous voyons clairement ici en quoi l'immuabilité du type d'ordre ω, quand celui-ci est affronté sur le mode du un par un, est la conséquence, du point de vue de l'ordinalité, du caractère « indéfiniment itératif » de la procédure, reproduisant à chaque étape la condition de son applicabilité : à savoir la structure circulaire du « A → A ». Le « A → A », indiquant l'inachevabilité de la procédure, a pour conséquence le « ∞ → ∞ » de Gwiazda, c'est-à-dire le fait que le type d'ordre – de ce qui reste à accomplir – est infini et qu'il le reste.
Le seul contre-argument qu'aperçoit Gwiazda, consisterait à remarquer que son principe est faux justement dans le cas d'une série infinie de tâches, et, pour attester de cette fausseté, à re-raconter l'histoire de la supertâche zénonienne qui constituerait un contre-exemple au principe. Gwiazda admet qu'il trouve ce contre-argument séduisant ; qu'il est lui aussi captivé par l'histoire zénonienne qu'on lui raconte ; mais qu'il demeure également convaincu par son argument d'origine.
En somme, si l'on suppose que la course zénonienne – ou une tâche équivalente – peut avoir lieu, on sera bel et bien amené à nier le principe ; mais, réfléchissant à ce principe, nous ne pouvons que le réaffirmer. Or, supposer que peut avoir lieu la course zénonienne est, dit-il, supposer d'avance la possibilité des supertâches qui était en question.
Je suggère que si l'on demande : Comment est-il possible de parvenir à 0 tâche lorsque l'on accomplit les tâches une par une ?, la seule réponse sensée est : En partant d'une unique tâche restante. Supposer que les supertâches sont possibles contredit en effet la prémisse 2, mais en présupposant ce qui est en question (tout l'enjeu de l'examen étant de savoir si oui ou non les supertâches sont logiquement possibles)6.
Pour illustrer son principe, Gwiazda élabore à son tour une délicieuse expérience de pensée, à partir d'une supertâche consistant à brûler une infinité de balles de tennis en un temps fini :
Imaginez que l'industrieux Hans et la paresseuse Lori entreprennent la supertâche aux balles de tennis décrite plus haut. Hans accomplit la supertâche exactement comme il est prescrit [i.e. une à la fois à rythme zénonien]. Lori, cependant, du fait de sa paresse, fait la chose suivante. Elle observe Hans. Chaque fois qu'il agit (brûle une balle de tennis) elle pose la question : Après la dernière action de Hans, ma tâche est-elle toujours d'ordre isomorphe à la tâche restante de Hans ? Si non, elle brûle une balle de tennis pour restaurer l'isomorphie ; et elle le fait avant que Hans n'ait le temps de brûler une nouvelle balle. Si oui, en bonne cantorienne paresseuse, elle ne fait rien, satisfaite que sa tâche demeure la même que celle de Hans7.
En somme, Lori ne veut jamais prendre plus d'une balle de retard sur Hans, mais ne va pas non plus s'efforcer de prendre une quelconque avance. Mais bien sûr, à l'instant limite après la supertâche, Hans a brûlé son infinité de balles de tennis, et Lori n'en a brûlé aucune.
Au temps = 1, comment les choses ont-elles mal tourné pour Lori ? Elle a consciencieusement maintenu l'ordre isomorphe entre sa tâche et celle de Hans. Lori n'a jamais brûlé une balle de tennis, précisément parce que Hans ne semblait jamais faire un quelconque progrès. Chaque fois que Hans brûlait une balle de tennis, il passait d'une tâche de type d'ordre ω à une tâche de type d'ordre ω. Et la tâche de Lori, de type d'ordre ω, était à chaque fois d'ordre isomorphe. Comment, donc, les tâches diffèrent-elles au temps = 1 ? C'est-à-dire quand, d'après la vue standard (selon laquelle les supertâches sont possibles) il ne reste aucune balle à Hans ; et il en reste une infinité à Lori. Mais j'ai suggéré que la tâche de Lori devait être d'ordre isomorphe à celle de Hans, et notamment, par conséquent, les deux devraient conserver le même nombre de balles. En quoi la paresseuse Lori a-t-elle fait fausse route8 ?
Il y a quelque chose de très beau dans cette image de Lori s'efforçant à chaque instant de maintenir l'isomorphisme de l'ordre, et finissant par échouer. Nous avons déjà vu un cas semblable dans la version économique du paradoxe de Ross. Mais que devons-nous faire de cette expérience ? Notons que si l'expérience de pensée n'est pas équivalente à l'argument général, elle semble bien avoir pour but de le rendre convaincant, et doit dès lors en être représentative. Nous devons donc demander si cette expérience peut ou non être transposée au cas zénonien de la Dichotomie.
Elle ne le peut, en fait, qu'à la condition que l'on suppose Lori capable de parcourir un intervalle à vitesse arbitraire – mais toujours finie. Si l'on transpose Hans et Lori sur le terrain de la course zénonienne, à chaque moitié proportionnelle parcourue, Lori, s'efforçant de maintenir l'isomorphie de la tâche, doit anticiper de doubler sa vitesse moyenne. Mais si l'on admet que, pour chacune des moitiés, le doublement de cette vitesse est concevable, alors Lori peut en effet demeurer paresseuse jusqu'au point limite où elle se trouve subitement dépassée, du point de vue de l'ordre, par Hans.
Il y a néanmoins une différence évidente, qui est que dans l'expérience de pensée originelle, à chaque instant la tâche de Lori n'est pas seulement équivalente quant à l'ordre, mais absolument équivalente à celle de Hans : l'une et l'autre, en tout point précédant le point limite, doivent brûler une infinité de balles. Or dans le cas zénonien cela ne vaut évidemment plus ; seul l'ordre reste équivalent mais la tâche change, et celle de Lori devient exponentiellement plus difficile. Nouvelle manière de présenter la nature de la différence des supertâches au cas zénonien.
Et sur ce dernier point, saisissant à la fois l'intuition fondamentale de l'inachevabilité de l'infini, et la différence profonde entre l'infini réel et l'infini impliqué par le continu, nous concluons finalement notre petit livre.